Calcolo limite a logaritmo coseno

Calcolo limite a −∞ logaritmo, coseno e seno

Calcolo limite a -∞ logaritmo, coseno e seno

Si calcoli, se esiste, il seguente limite lim_x→∞ log(cos 1/x) (x³-3x+sin x)

In questo limite è presente un prodotto, il primo fattore è log(cos 1/x), mentre il secondo fattore è (x³-3x+sin x). Notiamo che il limite si presenta nella forma indeterminata del tipo 0·∞.

Calcolo del primo limite

Considero il primo limite, dunque vogliamo calcolare lim_x→∞ log(cos 1/x)

Sostituendo t = 1/x il limite tenderà a zero ovvero, dal momento che x→∞⇒t→0⁺ lim_t→0⁺ log(cos t)

Cominciamo sommando e sottraendo 1 all'argomento del logaritmo, per cercare di riportare ai limiti notevoli lim_t→0⁺ log(cos t+1-1) e manipoliamo leggermente tale scrittura come segue: lim_t→0⁺ log(1+ (cos t-1))

Adesso moltiplico e divido lim_t→0⁺ log(1+(cos t−1)/cos t−1) ^cost−1

E ancora lim_t→0⁺ log(1+(cos t−1)/cos t−1)^cost−12/²