Il cannone a tiro rapido

Il cannone a tiro rapido

Impulso e quantità di moto

Un cannone a tiro rapido è montato su di un carrello, inizialmente fermo, che può scorrere su rotaie con attrito trascurabile. La massa iniziale complessiva del sistema è M = 800 kg. Il cannone spara proiettili di massa m = 5 kg ciascuno e velocità u = 500 m/s rispetto al carrello. Calcolare la velocità del carrello dopo che il cannone ha sparato tre colpi di seguito.

Poiché il sistema può considerarsi con buona approssimazione isolato, è possibile applicare il principio di conservazione della quantità di moto. Detta v1 la velocità del carrello subito dopo il primo sparo e avendo osservato che la quantità di moto iniziale del sistema è nulla, possiamo scrivere:

(M - m) v1 + m (v1 - u) = 0

Da cui otteniamo facilmente:

v1 = mu / M

Avendo osservato che ora il carrello possiede la quantità di moto iniziale (M - m) v1 e detta v2 la velocità finale del carrello subito dopo il secondo sparo, scriveremo:

(M - 2m) v2 + m (v2 - u) = (M - m) v1

Con qualche passaggio algebrico si ricava:

v2 = v1 + mu / (M - m)

Procedendo in modo analogo nel caso del terzo sparo, indicata con v3 la velocità finale del carrello, possiamo scrivere:

(M - 3m) v3 + m (v3 - u) = (M - 2m) v2

Dalla quale ricaviamo:

v3 = v2 + mu / (M - 2m)

Sostituendo i valori numerici si ottiene v1 = 2500 / 800 = 3,125 m/s, v2 = 3,125 + 2500 / 795 = 6,269 m/s e v3 = 6,269 + 2500 / 790 = 9,434 m/s. La velocità del carrello dopo tre colpi è quindi circa 9,43 m/s.