Il pendolo a molla

Il pendolo a molla

Impulso e quantità di moto

Due blocchi di massa m₁ = 1/3 Kg ed m₂ = 1 Kg, sono tenuti fermi su di un piano orizzontale senza attrito attaccati agli estremi di una molla leggera tesa (lunghezza di riposo della molla ℓ₀ = (2/π) m; allungamento Δℓ = (1/π) m; (costante di elasticità k = π² N/m). Quando i due corpi vengono lasciati liberi, essi si muovono l’uno verso l’altro per effetto della forza elastica della molla.

a) Determinare le velocità massime raggiunte da ciascuno dei due blocchi e la loro corrispondente posizione riferita al centro di massa (C.M.) del sistema.

b) Dimostrare che il moto del sistema è armonico e calcolarne il periodo T.

Osserviamo anzitutto che il sistema composto dalle due masse e dalla molla può considerarsi isolato. Infatti le forze peso m₁ g ed m₂ g sono bilanciate dalla reazione del piano di appoggio, mentre la forza elastica che agisce su ciascuno dei due blocchi è del tipo F_el,q = - F_el,p. Pertanto possiamo applicare il principio di conservazione della quantità di moto ed anche quello dell’energia meccanica dato che il piano è senza attrito.

Prima di scrivere le relative equazioni è opportuno fissare un conveniente sistema di riferimento. Immaginando le due masse come puntiformi, scegliamo la retta orientata x con l’origine O nel centro di massa del sistema (Figura 5.5) che dovrà restare fermo (conservazione del centro di massa) durante il moto dei due blocchi. Indicata con x l’ascissa della massa m₁ e con X quella di m₂ deve essere in ogni istante:

m₁ x + m₂ X = 0 (1)

Dette inoltre v₁ la velocità di m₁ e v₂ la velocità di m₂, il principio di conservazione della quantità di moto ci permette di scrivere:

m₁ v₁ + m₂ v₂ = 0 (2)

Per quanto riguarda l’energia, essa è inizialmente solo potenziale [E₀ = (½) k Δℓ²] mentre nel caso di una posizione generica essa sarà, sia cinetica [E_C = (½) m₁ v₁² + (½) m₂ v₂²], sia potenziale (E_P = (½) k [(x − X) − ℓ₀]²). Dunque per la conservazione dell’energia meccanica scriveremo:

E₀ = E_P + E_C

ovvero, più esplicitamente:

(½) k Δℓ² = (½) k [(x − X) − ℓ₀]² + (½) m₁ v₁² + (½) m₂ v₂² (3)

Dalla (1) e dalla (2), dopo aver posto m1/m2 = μ, otteniamo le equazioni scalari:

X = − μ x (4)

v₂ = − μ v₁ (5)

che consentono di dedurre, per ciascuna delle due masse, la velocità in funzione della loro posizione nel sistema di riferimento. Le velocità dei due blocchi raggiungeranno il loro massimo valore quando tutta l’energia potenziale della molla verrà convertita in energia cinetica. Pertanto, ponendo E_P = 0 nell’equazione (3) e combinandola con la (5), ricaviamo con qualche passaggio algebrico:

v₁ = −Δℓ √k / m₁ (1+μ) (6)

v₂ = +Δℓ √μk / m₂ (1+μ) (7)

Dall’equazione E_P = (½) k [(x −X) − ℓ₀]² = 0, combinata con la (4), è possibile dedurre le coordinate riferite al centro di massa corrispondenti alle velocità massime. Esse sono:

x = + ℓ₀ / 1+μ (8)

X = − μ ℓ₀ / 1+μ (9)

Si osservi che dalla combinazione della (8) con la (9) si ottiene x - X = ℓ₀ che è la lunghezza di riposo della molla per la quale si ha appunto E_P = 0. Sostituendo i dati numerici proposti dal testo ricaviamo:

v₁ = -1,5 m/s

v₂ = +0,5 m/s

x = +3/(2π) m

X = -1/(2π) m

Dimostrazione del moto armonico

Dimostriamo adesso che il moto del sistema è armonico. In base alla legge di Hooke scriviamo le espressioni delle forze che agiscono su ciascuna delle due masse:

F₁ = - k [(x - X) - ℓ₀]

F₂ = + k [(x - X) - ℓ₀]

Si osservi che F₂ = - F₁ come già rilevato (3^o principio della dinamica). Dal 2^o principio della dinamica deduciamo le accelerazioni:

a₁ = - k/m₁ [(x - X) - ℓ₀] (10)

a₂ = + k/m₂ [(x - X) - ℓ₀] (11)

Sottraendo membro a membro le due equazioni precedenti si ottiene:

a₁ - a₂ = - k [(x - X) - ℓ₀] [1/m₁ + 1/m₂] (12)