Asteroide contro Terra

Asteroide contro Terra: impulso e quantità di moto

Asteroide contro Terra: impulso e quantità di moto

Un piccolo asteroide di massa M = 2,5 × 10⁹ Kg che si muove con velocità V = 30 Km/s, è in rotta di collisione con la Terra. Due astronauti, a bordo di una navicella spaziale, sbarcano sull’asteroide e provvedono a minarlo con bombe nucleari nell’intento di deviarne il percorso.

Al momento dell’esplosione, che viene comandata a distanza, l’asteroide si spezza in tre frammenti di cui due di ugual massa m, pari complessivamente al 99,8 % di M ed il terzo di massa m₀ pari allo 0,2 % di M. Sapendo che tutti i frammenti hanno velocità di modulo uguale v e che i pezzi di ugual massa sono deviati di θ = 30° rispetto alla direzione originaria del moto (vedi Figura. 5.6), calcolare v e stabilire quali sono le direzioni possibili per il terzo frammento. Valutare infine l’energia minima delle bombe nucleari necessaria a produrre l’effetto descritto.

Nota: Si fa l’ipotesi che il sistema dell’asteroide sia isolato (forze gravitazionali trascurabili) e che tutti i frammenti, dopo l’esplosione, giacciano sullo stesso piano.

Conservazione della quantità di moto

Fissato il sistema di riferimento sul piano xOy con l’origine nel punto dell’esplosione (confrontare la Figura. 5.6) ed immaginando che le eventuali forze esterne siano trascurabili (vale a dire che la Terra sia ancora molto lontana e che le forze gravitazionali dovute ad altri corpi celesti siano inconsistenti), possiamo applicare al sistema il principio di conservazione della quantità di moto dopo aver scomposto i tre vettori di modulo | v | nelle rispettive componenti cartesiane.

Tenendo conto che lungo l’asse y la quantità di moto prima dell’esplosione è M v e che lungo l’asse x essa è nulla, possiamo scrivere, utilizzando la solita convenzione sui segni, le seguenti equazioni scalari:

− m v senΘ + m v senΘ ± m₀ v_0x = 0 (1)

+ m v cosΘ + m v cosΘ ± m₀ v_0y = M V (2)

Avendo indicato con v_0x e v_0y le componenti di v riferite al terzo frammento. Il segno ± davanti alle quantità di moto m₀ v_0x ed m₀ v_0y è dovuto al fatto che sul terzo frammento sappiamo soltanto che il modulo della velocità è uguale a quello degli altri due, ma non conosciamo la direzione ed il verso del moto.

Dalla (1), che risulta identicamente nulla, deduciamo subito che v_0x = 0 e quindi restano soltanto due possibilità: o il terzo frammento si muove con direzione parallela all’asse y (che è la direzione originaria del moto dell’asteroide) oppure con direzione ad esso antiparallela.

Velocità del terzo frammento

Dopo queste osservazioni, rileviamo che v_0y = v e quindi la (2) può essere scritta nel modo seguente:

2 m v cosΘ ± m₀ v = M V (3)

Posto per semplicità 2 m = k M (essendo m₀ = (1 − k) M, cioè m₀ = 0,002 M) otteniamo:

k M v cosΘ ± (1 − k) M v = M V (4)

Dalla (4), eliminata M, possiamo ricavare v:

v = V / [k cosΘ ± (1 − k)]

Si ottengono quindi due diversi valori di v a seconda che il moto del terzo frammento sia parallelo o antiparallelo all’asse delle y. Dunque:

v = V / [k (cos θ − 1) + 1]        direzione parallela        (5)

v = V / [k (cos θ + 1) − 1]        direzione antiparallela        (6)

Dalla (5), sostituendo i dati numerici, otteniamo v = 34,63 Km/s e dalla (6) v = 34,79 Km/s.

Energia delle bombe nucleari

Per quanto concerne l’energia, calcoliamo dapprima quella cinetica iniziale dell’asteroide. Essa è ovviamente:

E_Ci = (½) M V²        (7)

Poi quella finale dei tre frammenti:

E_Cf = (½) m v² + (½) m v² + (½) m₀ v²        (8)

Esprimendo nella (8) le masse per mezzo del parametro k, otteniamo con qualche passaggio:

E_Cf = (½) k M v² + (½) (1 − k) M v² ed infine:

E_Cf = (½) M v²        (9)

Come era logico aspettarsi, visto che la massa complessiva del sistema dopo l’esplosione, è la stessa e le velocità dei tre frammenti hanno tutte lo stesso modulo. Sostituendo i valori numerici ricaviamo:

E_Ci = 1,125 × 10¹⁸ J

E_Cf = 1.499 × 10¹⁸ J con v dedotto dalla (5)

E_Cf = 1.513 × 10¹⁸ J con v dedotto dalla (6)

L’energia minima ΔE che debbono possedere le bombe nucleari per ottenere l’effetto osservato, è espressa da:

ΔE = E_Cf − E_Ci

I valori numerici che si ottengono nei due casi sono:

ΔE = 3,74 × 10¹⁷ J    usando la (5)

ΔE = 3,88 × 10¹⁷ J    usando la (6)