Esercitazione VI: integrali indefiniti di goniometriche inverse

Integrali delle funzioni fratte le cui primitive sono le goniometriche inverse composte

∫ ^{f' (x)}∕_{√ 1 - [f(x)]²} dx = arc sen f(x) + C

∫ ^{f' (x)}∕_{1 + [f(x)]²} dx = arc tan f(x) + C

∫ ¹∕_{(x + k)² + m²} dx = ¹∕_m arc tan ^{x + k}∕_m + C

Integrali delle funzioni fratte le cui primitive sono le goniometriche inverse composte

_∫ ^f'(x)/_{√1 - [f(x)]²} dx = arc sen f(x) + C

_∫ ^f'(x)/_{1 + [f(x)]²} dx = arc tan f(x) + C

_∫ ¹/_{(x + k)² + m²} dx = ¹/_m arc tan ^{x + k}/_m + C

Risolvere i seguenti integrali riconducibili alle forme seguenti

∫ f'(x) / √[1 - (f(x))²] dx = arc sen f(x) + C

∫ f'(x) / [1 + f(x)²] dx = arc tan f(x) + C

∫ 1 / (x + k)² + m² dx = 1/m arc tan x + k / m + C

Esempio

∫ \[\frac{1}{3+(x-1)^2} \, dx \] \rightarrow \[\frac{\sqrt{3}}{3} \, arc \, tan \, \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C\]

\[ \int \frac{1}{3+(x-1)^2} \, dx \quad \Rightarrow \quad \int \frac{1}{(x+k)^2 + m^2} \, dx = \ldots\]

\[m^2 = 3 \]

\[ m = \sqrt{3} \] \quad \[ m = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \\[k = -1 \]

\[\int \frac{1}{(x-1)^2 + (\sqrt{3})^2} \, dx \]

Esempio

∫ \[\frac{e^x}{4+e^{2x}} \, dx \] \rightarrow \[\frac{1}{2} \, arc \, tan \, \frac{e^x}{2} + C \]

\[ \int \frac{e^x}{4+e^{2x}} \, dx \]

\[ = \int \frac{e^x}{4+(e^x)^2} \, dx \]

\[= \frac{1}{2} \]

\[= \frac{1}{4} \]

\[= \frac{1}{2} \, arc \, tan \, \frac{e^x}{2} + C \]

179

\(\int \frac{e^x}{\sqrt{4-e^{2x}}} \, dx\)

\(\left [ \, \text{arc sen} \, \frac{e^x}{2} \, +C \right ] \)

\(= \int \frac{e^x}{\sqrt{4-(e^x)^2}} \, dx\)

\(= \frac{e^x}{2 \, \sqrt{1-(\frac{e^x}{2})^2}}\)

\(dx = \text{arc} \sin \, (\frac{e^x}{2}) + C\)

180

\(\int \frac{1}{\sqrt{3-(2x+3)^2}} \, dx\)

\(\left [ \frac{1}{2} \, \text{arc sen} \, \frac{2x+3}{\sqrt{3}} \, +C \right ]\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{3 - (2x+3)^2}} \, dx\)

Scomponiamo la funzione integranda raccogliendo 3 a fattor comune nel radicando:

\(=\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3} - \left(\frac{2x+3}{\sqrt{3}}\right)^2}} \, dx\)

ed ora mi riferisco a: