Esercitazione 2 - Integrali indefiniti di funzioni goniometriche

A.A. 2018/2019 Esercitazione

Integrali indefiniti di funzioni goniometriche con metodo di sostituzione 150 ∫ sen 5x sen x dx 460 ∫ arc tan (√x + 1) dx

A.A. 2018/2019 Esercitazione

Integrali indefiniti di funzioni goniometriche con metodo di sostituzione sen 5x sen x dx arc tan (sqrt(x + 1)) dx

Calcolare i seguenti integrali

\(\int sen \, 5x \, sen \, x \, dx\)

\(\int sen \, 5x \, sen \, x \, dx\)

\(\frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} sen \, 4x - \frac{1}{3} sen \, 6x \right) + C\)

\(-\frac{1}{2} \int \left[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right]\)

\(- \frac{1}{2} \left[ \cos(5x - x) - \cos(5x + x) \right]\)

\(- \frac{1}{2} \left[ \cos(4x) + \cos(6x) \right]\)

\(- \frac{1}{2} \int \cos 4x \, dx - \frac{1}{2} \int \cos 6x \, dx\)

\(- \frac{1}{2} \frac{1}{4} sen 4x - \frac{1}{2} \frac{1}{6} sen 6x\)

\(- \frac{1}{8} sen 4x - \frac{1}{12} sen 6x + C\)

= \(\frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} sen 4x - \frac{1}{3} sen 6x \right) + C\)

Integrale con arc tan

∫arc tan(√x+1) dx

∫x arc tan(√x+1) dx = x arc tan(√x+1) - ∫ x 1 (x+1(1+x)) 2√x (arc tan u)= x arc tan(√x+1) - ∫ 1 ¹ xx (1/2) √x + x 2 1/2 dx = x arc tan (√x+1) - ∫ 1 x √x dx

= x arc tan (√x+1)- ∫ √xx+√x+2 dx

Sostituzione

Substituiamo √x=t

x=t²

dx=2t dt → ∫√xx+2√x+2 dx=1/2∫tt²+2t+22t dt= ∫ t² t²+2t+2 dt=1/2∫ t²+2t+2 -2+2-2 -dt t²+2t+2 =∫ t²+2t(t+2)t²+2t+2 -dt