Equazione prodotto numeri complessi

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione (z³-2)(z⁴+1)=0.

Sono soluzioni dell'equazione le soluzioni dell'equazione z³-2=0 (1) e quelle dell'equazione z⁴+1=0 (2).

Risoluzione dell'equazione (1)

Risolv. lo (1). Posto w³=3, la nostra equazione diventa w³-2=0, le cui soluzioni sono date da w_1,2=^1±√3/₂, ovvero w₁=^1+√3/₂ e w₂=^1-√3/₂ = -1.

Ora w₂=z, dovendo risolvere z=√3^√w dobbiamo trovare le radici terze di 2.

Modulo e argomento

Determiniamo modulo ed argomento: r=√4=2, θ=0.

Il numero complesso z ha modulo g=2 ed esponente principale θ=0, pertanto le radici cubiche, in forma trigonometrica, sono rappresentate da z_x=√2 [cos θ+2kπ/3 + i sen θ+2kπ/3] con k=0,1,2.

Cioè:

• Z₀=√2 [cos 0 + i sen 0] = √2
• Z₁=√2 [cos (2π/3) + i sen (2π/3)] = √2 [-1/2 + i√3/2]
• Z₂=√2 [cos (4/3) + i sen (4/3)] = √2 [-1/2 i√3/2]

Soluzioni per w₂ = -1

Analogamente, essendo w₂ = -1, si ha. In forma trigonometrica posso scrivere -1 come -1=γ [cos π + i sen π].

Quindi per la formula di De Moivre, otteniamo (-1)³=γ [cos (π+2kπ)/3 + i sen (π+2kπ)/3] con k=0,1,2.

Ovvero:

• Z₃=[cos π/3 + sen π/3, -1/2, i√3/2]
• Z₄=[cos (3π/3) + i sen (3π/3)] = -1
• Z₅=[cos (5π/3) + i sen (5π/3)] = -1/2 i√3/2