Equazione prodotto con valore assoluto numeri complessi

Equazione prodotto con valore assoluto numeri complessi

Equazione prodotto con valore assoluto numeri complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione (z⁴ - ¹⁺ⁱ/_1-i) (z² - |z|) = 0.

Per via della legge di annullamento del prodotto, la soluzione dell'equazione sarà l'unione delle soluzioni degli annullamenti dei singoli fattori, ovvero le equazioni z⁴ - ¹⁺ⁱ/_1-i = 0 (1) e z² - |z| = 0 (2).

Risoluzione della (1)

Risolvo, dapprima, la (1) e abbiamo che: z⁴ = ¹⁺ⁱ/_1-i.

Semplifico il membro a destra, moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato di (1-i) cioè (1+i) = ^(1+i)(1+i)/_(1-i)(1+i) = ^1+i+i+i2/_1-i² = ^1+2i-1/₂ = ²ⁱ/₂ = i.

Quindi otteniamo che z⁴ = i.

Cioè dobbiamo trovare le radici quarte di i.

Scrivo in forma trigonometrica il numero complesso i, determiniamo il modulo e argomento p = √(a²+b²) = √(0²+1²) = √1 = 1.

cos θ = ⁰/_p = 0 e sen θ = ^b/_p = 1.

Avendo a = 0 e b > 0 si ha che θ = π/2.

Scriviamo ora il numero complesso in forma trigonometrica: ¹ [cos(^π⁄₂) + i sen(^π⁄₂)].

Ora calcolo le radici quarte rappresentate dalla formula cos α t⁄n + i sen (α + 2kπ)⁄n con k = 0, 1, 2, 3.

Eseguendo i relativi calcoli, si trovano le quattro radici:

• z₀ = cos(^π⁄₄) + i sen (^π⁄₄)
• z₁ = cos(^5π⁄₄) + i sen (^5π⁄₄)
• z₂ = cos(^9π⁄₄) + i sen (^9π⁄₄)
• z₃ = cos(^13π⁄₄) + i sen (^13π⁄₄)

Pertanto le soluzioni dell'equazione (1) sono z₀, z₁, z₂, z₃.

Risoluzione della (2)

Risolvo ora la (2) e si ha: z² - 1z1 = 0.

Osserviamo che quella proposta non è un'equazione algebrica di secondo grado, a causa della presenza del modulo.

Ponendo z = x+iy e ricordando che |z|² = √x² + y², l'equazione diviene: (x+iy)² - √x² + y² = 0.

x² - 2x.yy - √x² + y² = 0.

x² - y² + 2ixy - √x² + y² = 0.

Separando parte reale e parte immaginaria x² - y = √x² + y² + i(2xy) = 0.

L'equazione sarà verificata se x e y sono soluzioni reali del sistema:

^{x2-y = √x2 + y2} = 0
2xy = 0

La seconda equazione ci dice che almeno uno tra x e y deve annullarsi;