Equazione numeri complessi prodotto fratta

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione ( z⁴ - ¹/_i )( iz² - 4i + 1 ) = 0 e si rappresentino le soluzioni sul piano complesso.

Per via della legge di annullamento del prodotto, le soluzioni dell'equazione sono l'unione delle soluzioni degli annullamenti dei singoli fattori, avremo:

iz⁴ - ¹/_i = 0 (1)

iz² - 4i + 1 = 0 (2)

Risoluzione della (1)

Risolvo la (1) e abbiamo che z⁴ = ¹/_i.

Semplifico il membro a destra moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato di (1 + i): ¹/_i = -i = ^-i/_1+i ⋅ ^1-i/_1-i = ^{-i (1-i)}/_(1+i)(1-i) = ^{-i + 1}/₁₊₁ = ^-2i/₂ = -i.

Quindi otteniamo che cioè dobbiamo trovare le radici quarte di -i. Scriviamo in forma trigonometrica il numero complesso -i, dobbiamo determinare modulo e argomento.

ρ = √(a² + b²) = √1 = √1 = 1

cos θ = ^a/_ρ = ⁰/₁ = 0 e sen θ = ^b/_ρ = ^-1/₁ = -1

Essendo a = 0 e b < 0 si ha che l'argomento risulta essere θ = - ^π/₂.

Siamo ora in grado di scrivere il numero complesso in forma trigonometrica, -i = 1 [ cos( ^-π/₂ ) + i sen ( ^-π/₂ ) ].

Ora calcolo le radici quarte rappresentate dalla formula z_k = √ρ [ cos( ^{θ + 2kπ}/₄) + i sen( ^{θ + 2kπ}/₄) ] con k = 0, 1, 2, 3.

Eseguendo i relativi calcoli si trovano le quattro radici:

z₀ = √1 [ cos( ^-π/₈ ) + i sen ( ^-π/₈ ) ]

z₁ = [cos(-^π/₂ ± 2kπ)(​)] + i sen(-^π/₂ ± 2kπ)(​)] - [cos(^π/₄) + i sen(^π/₄)]= [cos(-^3π/₈) + i sen(^3π/₈)]

z₂ = [cos(-^π/₂ ± 4π)(​)] + i sen(-^π/₂ ± 4π)(​)(​)] - [cos(^3π/₈) + i sen(^3π/₈)]= [cos(-^5π/₈) + i sen(^5π/₈)]

z₃ = [cos(-^π/₂ ± 6π)(​)] + i sen(-^π/₂ ± 6π)(​)(​)] - [cos(^3π/₈) + i sen(^3π/₈)]= [cos(^3π/₄) + i sen(^3π/₄)]

Pertanto le soluzioni dell'equazione (1) sono: z₀, z₁, z₂, z₃.

Risoluzione della (2)

Risolvo ora la (2), si ha: izz̄ - 4i + i = 0.

Ponendo z = x + iy e z̄ = x - iy con la sostituzione si ottiene:

(x + iy)(x - iy) - 4i + i = 0

i(x² - ix y + ix y - iy²) - 4i + i = 0

i(x² + y²) - 4i + i = 0

x² + y² = 4 - i

A questo punto occorre razionalizzare il termine a membro destro, ossia:

4 = (4-i)(-i) / (-i)(-i) = -4i + i² / i² = -4i - 1 / 1 = -1 - 4i

Quindi si ha:

x² + y² = -1 - 4i

(x² + y²) + i 0 = (-1) + i (-4)

Quando separato parte reale e parte immaginaria, ottenendo il sistema:

x² + y² = -10 = 4

Il quale non ha soluzioni reali.

Ne consegue che la (2) non è mai verificata, in quanto non si annulla mai per alcun numero complesso.