Equazione numeri complessi con valore assoluto

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessiEsercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione (z⁴ - 16) · (z² - 12z + 36) = 0 e si rappresentino le soluzioni sul piano complesso.

Sono soluzioni dell'equazione date le soluzioni dell'equazione z⁴ - 16 = 0 (1) e quelle dell'equazione z² - 12z + 36 = 0 (2).

Risoluzione dell'equazione (1)

Risolvendo (1) e abbiamo che z⁴ = 16 occorre trovare le radici quarte di 16; scrivo in forma trigonometrica il numero complesso -16; dobbiamo determinare modulo e argomento:

p = √a² + b² = √(-16)² = √256 = 16 => p = 16

cos Θ = a/p = -16/16 = -1 => Θ = π

Siamo ora in grado di scrivere il numero complesso in forma trigonometrica:

-16 = 16 (cos (π) + i sen (-π))

Ora calcolo le radici quarte rappresentate dalla formula:

z_k = √p (cos (θ + 2kπ/n) + i sen (θ + 2kπ/n)) con k = 0,1,2,3

Eseguendo i relativi calcoli si trovano le quattro radici:

z₀ = √16 (cos (π/4) + i sen (-π/4)) = 2 (cos (-π/8) + i sen (π/8))

z₁ = 2 (cos (π/4 + 2π(1/4)) + i sen (π/4 + 2π(1/4))) = 2 (cos (3π/4) + i sen (3π/4)) = 2 (cos (3π/8) + i sen (3π/8))

z₂ = 2 (cos (π/4 - 4π/4) + i sen (π/4 + 4π/4)) = 2 (cos (5π/4) + i sen (5π/4)) = 2 (cos (7π/8) + i sen (7π/8))

ε₃ = 2 (cos (-^π/₂ + 6π) (⁴/₄) i sen (-^π/₂ + 6π) (⁴/₄)) = 2 (cos (^4π/₂) (⁴/₄) i sen (^4π/₂) (⁴/₄)) = 2 (cos (^4π/₂) i sen (^4π/₈))

Pertanto le soluzioni dell'equazione (1) sono z₀, z₁, z₂, z₃.

Risoluzione dell'equazione (2)

Risolvo (2), si ha z²-|z|-3 = 0.

Osserviamo che quella proposta non è un'equazione algebrica di secondo grado, a causa della presenza del modulo.

Ponendo z = x+iy e z = x-iy e ricordando che |z| = √x²+y² l'equazione proposta divenne:

(x+iy)² - √x²+y² -3 = 0

x²+2ixy-y² - √x²+y² -3 = 0

x²-y² - √x²+y² -3 = 2ixy = 0

Separando parte reale e parte immaginaria x²-y² - √x²+y² -3 = 0 (2xy = 0) sono verificate se x e y sono soluzioni (reali) del sistema:

x²-y² - √x²+y² -3 = 0

2xy = 0

La seconda equazione ci dice che almeno uno tra x e y deve annullarsi:

nel primo caso si ha x = 0

-y²-|y|-3 = 0 → non ha soluzioni reali, quindi non è verificata, non si ottengono soluzioni;

mentre nel secondo caso si ha y = 0

x² -|x|-3 = 0

Si nota che dalla seconda equazione del sistema essendo |x| = { x se x>0   -x se x 0

x²-x-3 = 0 ∪ x x²-(-x)-3 = 0

Il primo sistema: Δ = 1+12-13 x₁/2 = ±1,√13