Equazione in C con prodotto

Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi Esercizio sull'equazione nel campo dei numeri complessi

Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione \((z^2+iz+\frac{i\sqrt{3}}{4})(z-1)=0\).

Si rappresentino le soluzioni sul piano complesso.

Sono soluzione dell'equazione dato le soluzioni dell'equazione \(z^2+iz+\frac{i\sqrt{3}}{4}=0\)   (1) e quella dell'equazione \(z-1i=0\)   (2).

Risoluzione

Risolvi: \(z^2+iz+\frac{i\sqrt{3}}{4}=0\).

\(\Delta=\frac{1}{4}^2-\left(\frac{i\sqrt{3}}{4}\right)^2=i^2\cdot\frac{3}{16}=-\frac{1}{4}-i\sqrt{3}\).

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono \(\frac{-iz\pm\sqrt{1-i\sqrt{3}}}{2}\).

Devo quindi calcolare le radici quadrate di \(w=-1-i\sqrt{3}\).

Scrivo in forma trigonometrica il numero complesso \((-1,-\sqrt{3})\). Dobbiamo determinare modulo ed argomento.

\(\rho=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=\sqrt{4}=2\to\rho=2\).

\[\cos\theta=\frac{a}{\rho}=\frac{-1}{2},\quad\sin\theta=\frac{b}{\rho}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\(\theta\) non è un angolo notevole: essendo \(a