Disequazione prodotto seno logaritmo arctan 0

Disequazione prodotto seno, logaritmo, arctan ≥ 0

Disequazione prodotto seno, logaritmo, arctan ≥ 0

Si risolva la disequazione

Insieme di definizione

Determinando dapprima l'insieme di definizione:

• Osservando che: arctan è definita su ℝ;
• L'esponenziale è definito su ℝ;
• Il logaritmo è definito per valori dell'argomento maggiori di 0;
• La radice quadrata è definita per valori dell'argomento maggiori o uguali a zero.

Si ha che:

E = {x ∈ ℝ | √(x²+1)>0, |x²| > 0, x - 1 ≠ 0 }.

Risoluzione del sistema

Risolviamo il sistema [√((x+1)/(x-1))] > 1 ∀ x ∈ ℝ x ≠ 1

Per la prima disequazione abbiamo che:

(√((x+1)/(x-1))) > 1

Che significa trovare quei valori di x per cui.

(x+1)/(x-1) > 1

x + 1 > 0

(x+1)/(x-1) > 0

2x - 0 > 0

N: 2x - 0 > 0 ∀ x ∈ ℝ

D: x > -1, 0 → x > 1

x > 1   ∪   0 < x < 1 ⇒⇒ x > 0

Quindi si ha che l'insieme di definizione è:

E = { x ∈ ℝ | x > 0 con x ≠ ±1 }

Segno dei fattori

Studiamo il segno di ciascun fattore:

Poniamo il primo fattore:

-2 - Sin (log₂ [√(x+1)/x-1] - 1) > 0 →

-0 - Sin (log₂ [√(x+1)/x-1] - 1) > -2 → Sin (log₂ [√(x+1)/x-1] - 1) < 2

Osservazione superflua qualunque valore della sostituta essendo il seno una funzione oscillante tra -1 e 1, la funzione sin x è sempre ≠ 1: ∀ x ∈ ℝ

Secondo fattore

Passiamo al secondo fattore:

arctan (3x² - √3^6x-4) ≥ 0

Sapendo che l'arcotangente assume valori positivi quando il suo argomento è maggiore o uguale a zero, possiamo scrivere:

3x² - √3^6x-4 ≥ 0

3x² - 3^{4/3 (6x-4)} ≥ 0

3x² ≥ 3^{4/3 × 4 = 33x-2}

3x² ≥ 3^3x-2

Passando agli esponenti, essendo di basi uguali e maggiore di 1, si ottiene:

x² ≥ 3x - 2 → x² - 3x + 2 ≥ 0 → (x - 1)(x - 2) ≤ 0 ⇒ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2