Studio disequazione log in base 3 con valore assoluto e radice

Studio disequazione log in base 3 con valore assoluto e radice

Si studi la seguente disequazione log ₃ |√(x²-4x) - x| > 1

Svolgimento

Per l'esistenza del primo membro deve essere:

• |√(x²-4x) - x| > 0 (esistenza logaritmo)
• x²-4x ≥ 0 (radicando della radice)

Per la prima disequazione si ha:

|√(x²-4x) - x| > 0 ⇒ √(x²-4x) - x ≠ 0 ⇒ √(x²-4x) ≠ x

Elevando entrambi i membri al quadrato:

x²-4x+x²-4x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

Per la seconda disequazione si ha:

x²-4x≥0 ⇒ x(x-4)≥0 ⇒ x≤0 v x≥4

Pertanto otteniamo il sistema:

• x ≠ 0
• x ≤ 0 v x ≥ 4

Per cui l'insieme delle soluzioni delle condizioni di esistenza è: E: {x ≤ 0 v x ≥ 4}

Risolviamo ora la disequazione data

Essa si può scrivere:

log₃ |√(x²-4x) - x| > log₃ 3

Poiché ricorrendo alla definizione di logaritmo, abbiamo:

1 = log₃ 3; log₃ 3

Ora la disequazione è in forma canonica, e le sue soluzioni si ottengono passando agli argomenti, senza cambiare il verso del simbolo di disuguaglianza perché la base dei logaritmi è 3, che è maggiore di 1;

|√x²-4x - x|≥ 3

Significa "trovare quei valori dell’incognita per cui |x²-4x - x - 3| e |√x²-4x dalla prima disequazione segue |√x²-4x che possiamo affermare che le soluzioni della disequazione proposta sono quelle del sistema:

• x²-4x ≥ 0
• x-3 ≥ 0
• √x²-4x (x-3) ≥ 0
• (x-3)²x (la disequazione è soddisfatta per x ∈ 4 ≤ x ≤ 9/2

Dalla seconda disequazione segue |√x²-4x - 3 e avremo i seguenti sistemi:

• x ≥ 3 ≥ 0
• √x²-4x ≥ x ≥ (x+3)²
• √x²-4x ≥ x (x-3) ≥ 0
• √x²-4x ≥ 0
• √x²-4x √x²-4x (x-3)² etc...
• x ≥ 0 V x ≥ 4