Disequazione arcoseno valore assoluto logaritmo fratto

Disequazione arcoseno, valore assoluto, logaritmo fratto Disequazione arcoseno, valore assoluto, logaritmo fratto

Si studi la disequazione

arc sin |x - 1| / x + 2 (1 + x / log(1 + x) + 2(x + 1) / log(1 + x)) > 0

Campo di esistenza

Per prima cosa stabiliamo il campo di esistenza, osservando che il primo membro è costituito da:

• Una funzione arcogonometrica, cioè esso definita per [-1, 1]
• Una funzione fratta in cui il denominatore deve essere diverso da zero
• Una funzione logaritmo avente un argomento maggiore di zero

Pertanto risultano essere:

-1 ≤ |x - 1| / x + 2 ≤ 1

log(1 + x) ≠ 0

1 + x > 0

2(x + 1) ≠ 0

Prima condizione

Per la prima condizione abbiamo che rimane:

|x - 1| / x + 2 essendo che |x| per il significato di valore assoluto

-1 -1

|x - 1| / x + 2 > -1

È sempre verificata poiché il valore assoluto è sempre maggiore di una quantità negativa.

Tuttavia risolvere |x - 1| / x + 2 -1 i le cui soluzioni si determinano risolvendo il sistema:

x - 1 / x + 2 -1 x - 1 ₂x < -2, V x > -¹/₂

Seconda condizione

Per la seconda condizione:

log (1+x) ≥ 0 => x ≠ -1

Quindi le condizioni di esistenza sono:

x ≥ -¹/₂ V x ≠ 0

Segno dei fattori

Ora studiamo il segno di ciascun fattore.

Partiamo da:

arcsin ∣^x-1/_x+2∣ > 0 max

Sappiamo che l'arcoseno assume valori positivi se il suo argomento è compreso tra 0 e 1, ovvero ∣^x-1/_x+2∣ < 1

Cioè ∣^x-1/_x+2∣ ≤ 1

Per la prima abbiamo che ∣^x-1/_x+2∣ ≤ 0

Per la seconda significa trovare quei valori per cui:

−1 ≤ ^x-1/_x+2 ≤ 1