Studio disequazione fratta logaritmo seno e coseno

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Si risolva la seguente disequazione

^log_1∕2^|_{sin x - 1}∕_cos²x^|_| ≥ 0

Svolgimento

La condizione di esistenza del logaritmo è che |sin x - 1||cos²x| > 0.

Esso risulterà sempre ≥ 0, a meno che non sia proprio zero e quindi deve essere necessariamente diverso:

sin x - 1≠ 0
cos²x

Risolvendo ci abbiamo:

• {cos²x ≠ 0 ⇒ x ≠ ± π | 2 + 2kπ
• Sin x ≠ 1

La disequazione data si può scrivere, ricordando la definizione di logaritmo:

0 ≤ log_1∕2(|x|) ≤ 1

Cioè:

log_1∕2^|_{sin x - 1}∕_cos²x^|≥ log_1∕21

Osserviamo la base dei logaritmi: 0 ≤ 2 | 2, quindi passando agli argomenti, cambiamo il verso della disequazione:

|sin x - 1||cos²x| ≤ 1

Poiché la disequazione [A(x)] 0 è equivalente a -k -1 |cos²x| ≤ 1.

Ossia al sistema:

• ^{sin x - 1}/_cos²x > 1
• ^{sin x - 1}/_cos²x < 0

Dalla prima disequazione segue:

^{sin x - 1}/_cos²x > 1 ⟹ sin x - 1 < 0 ⟹ sin x < 1 ⟹ cos²x < 0

Ricordando che cos²x = 1 - sen²x, possiamo ottenere al numeratore un'unica funzione goniometrica:

^{sin x - 1 -(1 - sen2x)}/_cos²x < 0 ⟹ ^{sen2x - sin x - 2}/_cos²x < 0

Al numeratore abbiamo:

sen²x + sen x - 2 ≥ 0 ⟶

Risolviamola nell'incognita sen x, otteniamo facendo sen x = t, essa si trasforma nella disequazione:

t² + t - 2 ≥ 0 ⟹ Δ = 1 + 8 = 9 ⟹ +1/2 = -1 + 3/2

t₁ = -2 t₂ = 1 ⟹ t < -2 ⟹ t > 1

Sono le soluzioni della disequazione.

La disequazione sarà soddisfatta dai valori di x per i quali si ha:

sen x = 2 ⟹ √ sen x ≥ 1

Si tratta ora di risolvere due disequazioni elementari:

• Sen x ≤ -2 ⟹ impossibile, nessuna soluzione, sin x è sempre ≥1
• Sen x ≥ 1 ⟹ impossibile, funzione sin x è limitata tra -1 e +1