Disequazione esponenziale e logaritmica 0

Disequazione esponenziale e logaritmica ≥ 0

Disequazione esponenziale e logaritmica ≥ 0

Si studi la seguente disequazione

(e^2x - e^x+1 + 3)(log(x² - 2x + 1)) ≥ 0

È un prodotto di due fattori il cui segno dipende da quello di essi, pertanto è positivo se essi sono concordi.

Quindi dobbiamo risolvere due disequazioni

e^2x - e^x+1 + 3 ≥ 0 (1)

e log(x² - 2x + 1) ≥ 0 (2)

Per la (1), ponendo e^x = t diventa

t² - t + 3 ≥ 0

Δ = 1 + (-4)(3) = 1 - 12 = -11 < 0

Risulta essere verificata per ∀ x ∈ ℝ

Per la (2), dall'esame del grafico della funzione logaritmica con la base 10 > 1, oltre alle considerazioni sull'esistenza e sul segno del logaritmo, si ha che la (2) equivale al sistema

• X² - 2x + 1 > 0 - esistenza
• X² - 2x + 1 ≥ 1 - segno

Risolvendo si ha

• (x - 1)² ≥ 0 - ↔
• X + 2x² - 2x > 0 ↔ x < 0 ∨ x > 2

Quindi la (2) è verificata per x < 0 ∨ x > 2.

Vediamo ora che i due fattori sono concordi tramite il grafico

──|───┼───|────────-0----2----

La disequazione data è verificata per

x < 0 ∨ x > 2

Disequazione fratta coseno, radice e valore assoluto