Disequazione esponenziale con radice quadrata arcocosenoe logaritmo

Esercizio sulla disequazione esponenziale con radice quadrata, arcocoseno e logaritmo esercizio sulla disequazione esponenziale con radice quadrata, arcocoseno e logaritmo

Si risolva la disequazione esponenziale (2^x - 2^-x - 2) ⋅ √[1 + log₂(arccos ^x-1/_x+1)] ≥ 0

Svolgimento

Per prima cosa stabiliamo il campo di esistenza.

Esso risulta essere:

1 + log₂(arccos ^x-1/_x+1) ≥ 0 (1)

-1 ≤ ^x-1/_x+1 ≤ 1 (2)

arccos ^x-1/_x+1 > 0 (3)

x+1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1

Prima condizione

Per la prima condizione abbiamo che:

1 + log₂(arccos ^x-1/_x+1) ≥ 0

Cioè:

log₂(arccos ^x-1/_x+1) ≥ -1

log₂(arccos ^x-1/_x+1) ≥ log₂ (2¹)

Essendo 0 ²/_π arccos ^x-1/_x+1 ≤ (2^π)^-1

arccos ^x-1/_x+1 ≤ ^π/₂

Da cui:

arccos ^x-1/_x+1 ≤ arccos (π/2)

cos ^π/₂ ≤ ^x-1/_x+1 ≤ 1

Cioè se:

0 ≤ x -1 equivalente al sistema

0 ≤ ^x-1/_x+1 -1 ⇒ x ≥ 1

{x ≤ -1 ∨ x > 1}

{x > -1}

⇒ x ≥ ±1

Seconda condizione

Per la seconda condizione, equivale a risolvere il sistema costruito da:

x - 1 ≥ -1

x + 1 > 0

x - 1 ≥ 1

⇒ x ≥ 0

Terza condizione

Per la terza abbiamo:

arccos _{x - 1}/^{x + 1} > 0   ∀ x ∈ ℝ

Fermando le condizioni di esistenza sono:

x ≥ 1

x ≥ 0

Che si riduce alla condizione:

x ≥ 1

Risoluzione della disequazione

Ora passiamo a risolvere la disequazione:

(2^x - x² - 2) √_1/7 log ₇ (arccos _{x - 1}/^{x + 1}) ≥ 0

E risolviamo separatamente ciascun fattore.

Primo fattore

Per il primo fattore si ha:

2^x - x² - 2 ≥ 0

Sostituisco 2^x = ξ e oriento:

ξ² - ξ - 2 ≥ 0

ξ = 1   ξ ≥ 2

Fermiamo:

2^x = 1   ∀ x ∈ ℝ

2^x ≤ 2   log 2* 2 ≥ log 2*: log 2 ≥ (>) x log 2 ≥ log 2 (log 2 > ≥ x ≥ log 2 ≥ 1/ log 2

⇒ x ≥ 1

Quindi   x ≥ 1