Disequazione con radice quadrata arcoseno logaritmo ed esponente

Esercizio sulla disequazione con radice quadrata, arcoseno, logaritmo ed esponente

Esercizio sulla disequazione con radice quadrata, arcoseno, logaritmo ed esponente

Si studi la seguente disequazione:

√(π - arcsin |x/(x-1)|) log₂(2^x -4·2^x + 4) ≤ 0

Svolgimento

Per risolvere la disequazione occorre prima di tutto impostare le condizioni di esistenza CE.

x - 1 ≠ 0 → x ≠ 1

|x/(x-1)| ≤ 1 → -1 ≤ x/(x-1) ≤ 1

CE: π - arcsin(|x/(x-1)|) ≥ 0 → arcsin(|x/(x-1)|) ≤ π

2^x - 4·2^x + 4 > 0 → (+ 2)² > 0

Da qui, risolvendo le disequazioni e intersecando il sistema si ha:

x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1

-1 ≤ x/(x-1) ≤ 1 → {x/(x-1) > -1     x/(x-1) ≤ 1} → {x     x ≤ 1∨ x > 1}

arcsin |x/(x-1)| ≤ π → ∀x∈ℝ, |x/(x-1)| ≤ 1 → x ≤ 1/2

(+2-2) > 0 → ∀x ≠ 2 → ∀z² ≥ z → ∀x ≠ 1

Pertanto il campo di esistenza sarà:

CE = {x∈ℝ, x ≤ 1/2}