Disequazione prodotto arcoseno e radice

Esercizio sulla disequazione con arcoseno, logaritmo, seno e coseno

Si risolva la disequazione arcsin(log_1/2|1 - sin x|) ⋅ √cos² x - 2 cos x ≥ 0.

Esercizio sulla disequazione con arcoseno, logaritmo, seno e coseno

Si risolva la disequazione arcsin (log_1/2 |1 - sin x|) · √cos² x - 2 cos x ≥ 0.

Si risolva la disequazione 0 3 |1 - sin x|) (√2 * x - 2cos x) ≥ 0.

Ci chiede quando il prodotto è positivo.

Siccome il secondo fattore è una radice che per definizione è positiva, il prodotto in esame sarà positivo quando entrambi i fattori lo sono.

Quindi, se sia solo verificato che la radice sia nel suo campo di esistenza (radicando ≥ 0) e che l'arcoseno sia positivo.

Abbiamo che:

(L'arcoseno è positivo se l'argomento è positivo, avendo entrambi valori positivi se il suo argomento è compreso tra 0 e 1, quindi:

0 ≤ log₃ |1 - sin x| ≤ 1

cioè

log₃ |1 - sin x| ≥ 0

log₃ |1 - sin x| ≤ 1

Ricorrendo alle definizioni di logaritmo, possiamo scrivere

0 = log₃ (1/2) ≤ log₃ |1 - sin x| ≤ log₃ 1 = 1

e pertanto avremo:

log₃ |1 - sin x| ≥ log₃ (1/2)

log₃ |1 - sin x| ≤ log₃ 1

che passando agli argomenti, con le opportune modifiche, otteniamo

|1 - sin x| ≥ 1 (1)

|1 - sin x| ≤ 1 (2)

(1) significa risolvere il sistema seguente:

-1 - sin x ≥ 0

1 - sin x ≤ -1

dalla prima risolviamo

1 - sin x ≥ 0 ⟹ -sin x ≥ -1 ⟹ sin x ≤ 1   ∀ x ∈ R

dalla seconda invece

1 - sin x ≤ -1 ⟹ 1 - sin x ≤ 0 ⟹ sin x ≥ 2

sin x ≤ 0

1 - sin x ≤ x ⟹ -sin x ≤ -1 ⟹ sin x ≥ 1/2

sin x ≥ 2

Quindi per (b) avremo che:

2kπ ≤ x ≤ 2kπ + 2kπ ⟹ x ≥ u + 2kπ