Studio disequazione con log in base 1 2 e valore assoluto

Studio disequazione con log in base 1/2 e valore assoluto

Disequazione con log in base 1/2 e valore assoluto

Si studi la disequazione

|x² - 1|
--------------------------------------------
log_1/2|---------------------------| -1
|x - 2|

Essa si può scrivere

|x² - 1|   |   |log_1/2|---------------------------|   log_1/2 2.
|x - 2|

(1)

Essendo log_1/2 (1/2)^-1 = 2

Ed è equivalente al sistema costituito dalla disequazione

|x² - 1|
|--------------------------- | > 0,
|x - 2|

che si ottiene ponendo maggiore di zero l'argomento del logaritmo, cioè le condizioni di accettabilità, e dalla disequazione

|x² - 1|   2, che si
|--------------------------- | ottenga dalla (1) passando agli argomenti (cambiando il verso del simbolo di disequazione perché la base del logaritmo è 1/2, che è minore di 1)
|x - 2|

|x² - 1|
|--------------------------| > 0 condizione accettabilità
|x - 2|

|x² - 1|
|--------------------------|   2
|x - 2|

(2)

Risolviamo le condizioni di accettabilità

|x² - 1|   | p > 0
|--------------------------| =   |x - 2|   0   |x| ≥ 1

E quindi si ha al numeratore x² - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1, x ≠ 1.

Al denominatore x - 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2.

Allora la disequazione è soddisfatta per x ≠ ±1, x ≠ 2.

Risolviamo la seconda disequazione del sistema (2)

|x² - 1|   ||   |   |
|--------------------------|   2 ⇒ -2 |x - 2|
|/pp|xsup2/sup - 1 | x² - 1   -2|x² - 1|
|--------------------------||x - 2|

Consideriamo la prima disequazione del (3).