Analisi matematica II - Esercizio 3

Esercizi proposti nell’ambito del corso di Analisi Matematica II

Prof. Lignola - Anno Accademico 2009-2010

n. 3

1. Si studino le seguenti serie di potenze:

−n∑ ∑ ∑+∞ +∞ +∞1 e√ −−n n−1n (x e)(x + 2) arctg n!(x 3) 2n3nn=1 n=1 n=1

∑ ∑ ∑+∞ +∞ +∞n n(−1) 2 + e −n n n−1x x log(n + 1) (x 2)−3 2 n(n n )3 n!n=1 n=0 n=1( ) ( )

∑ ∑ ∑+∞ +∞ +∞n n n−11 1 1 (x + 4)− −n−11 (x + 1) x2 n 2 n−1n 2 n 2 nn=1 n=1 n=1

2. Serie di funzioni

Si studino, utilizzando i risultati sulle serie di potenze, le seguenti serie di funzioni:

∑ ∑ ∑+∞ +∞ +∞3n n n−1(log n)|2 + x||x | −nxn 2log + x 3n=1 n=1 n=1

√ −∑ ∑ ∑+∞ +∞ +∞n nx x)( arcsen x n√−n n−1n 2 (2 + x)2n + nn=1 n=1 n=1 ( )

−∑ ∑ ∑+∞ +∞ +∞ n−12 3 n 1n n sen x 1−n 2 ncos x 3n n 2 xn=1 n=2 n=1

−∑ ∑ ∑+∞ +∞ +∞n 3 n(−1) (n + 1)(2 x ) (n + 1)nx nx+nn 2 n! en=1 n=1 n=1

√( ) n−1( ) −( )∑ ∑ ∑ 2x 1+∞ +∞ +∞n n+13 2 log nn−1−23+ x 1 n n−1n log (x + 1) nn=1 n=1 n=11