Analisi matematica II - Esercizio 5

Esercizi proposti nell’ambito del corso di Analisi matematica II

Prof. Lignola - Anno accademico 2009-2010

1. Derivate parziali

Si stabilisca l’insieme dei punti in cui è derivabile parzialmente rispetto a x e rispetto a y ognuna delle seguenti funzioni; si determini, inoltre, l’espressione di tali derivate parziali.

√ √−2 2 2
f (x, y) = x + y
g (x, y) = log(1 yx )

1 1 √| |
x + y 2
f (x, y) =
g (x, y) = y + y x
2 2x(y + x)

√ 2y + 1
f (x, y) = y cos x
g (x, y) = log
3 3 − 21 x

√y − 2
f (x, y) = arcsen
g (x, y) = arcsen x y
4 4x + y

2. Derivata direzionale

Si calcoli la derivata direzionale di f in (π/3, 1) secondo la direzione del vettore v = i − j.

3. Derivata direzionale in R³

Si calcoli la derivata direzionale di f (x, y, z) = e^−1,y+z (x − y) in (0, 1) secondo la direzione del vettore v = i − j + k.

4. Esempi di funzioni differenziabili

Si forniscano esempi di funzioni definite in aperti di R o di Rⁿ ed ivi differenziabili.

Data una funzione f : A → R definita in un sottoinsieme aperto A di Rⁿ:

5. Derivabilità secondo una direzione

Se f è derivabile in x_o ∈ A secondo una direzione come risulta necessariamente la funzione f in quel punto?

6. Vettore gradiente

Se f è derivabile in x_o ∈ A rispetto a tutte le variabili come si definisce il vettore gradiente in tal punto?

7. Piano tangente

Se n = 2 e f è differenziabile in (x_o, y_o) ∈ A come si definisce il piano tangente al diagramma di f in (x_o, y_o, f (x_o, y_o) e quale è la sua equazione?

8. Condizioni di differenziabilità

Quali sono le condizioni necessarie perché una funzione f sia differenziabile in x_o? E quali sono le condizioni sufficienti?

9. Continuità

Nell’ipotesi che f ∈ C¹ (A) la funzione f risulta necessariamente continua in A?

10. Funzioni vettoriali

Come si estende alle funzioni vettoriali la nozione di derivata parziale e quella di differenziabilità?