Politecnico di Milano - VI Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Recuperi e appello di Analisi Matematica A (17-02-04)
Anno Accademico 2003/2004 - Prof. S. Paleari
Soluzioni
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1. Calcolare il seguente limite
−2 ln(1 x) .lim 3x −e 1x→0
Utilizzando le stime asintotiche abbiamo che
− −x2 ln(1 x) ∼ →2 , x 0,3x −e 1 3x−2/3.
e quindi il limite richiesto vale
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2. Calcolare il seguente limite
3n+1nlim .2(n )en→∞
Utilizzando il criterio del confronto abbiamo che, tranne che per un numero finito di n,
n3n+1 3+1/n 3+1/n n n n≤ ≤0 ,=2 n n(n ) e ee3+1/n n 3+1/n n → → ∞
poiché́ n /e < 1, definitivamente in n. Infatti, n /e 0, n (ovvero l’esponenziale diverge più velocemente di qualsiasi potenza). Quindi il limite richiesto vale 0.
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3. Determinare la retta tangente
Determinare la retta tangente, nel punto (1, f (1)), alla funzione:
2−xf (x) := xe . 0 −1−e
Il coefficiente angolare della retta cercata è la derivata prima di f calcolata in 1, ovvero f (1) = ,0 −1−e il suo il termine noto vale f (1) f (1) = 2e . Quindi l’equazione della retta è:
−1 −1−ey = x + 2e .
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4. Discutere la continuità e la derivabilità
Discutere la continuità e la derivabilità, al variare dei parametri reali a e b, della seguente funzione:
( 2−1 x se x < 0 .f (x) := − ≥a sin(x b) se x 0
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