Analisi Matematica 3 - Esercizi vari

Analisi matematica I (Versione A) - 24 novembre 2000

Risoluzione

Esercizio 1

Data la funzione f(x) = (e^2x − 1)² − log(1 + 4x²):

1. Calcolare lo sviluppo di ordine 3 di MacLaurin di f(x).

Scriviamo gli sviluppi di ordine 3 di e^2x, di (e^2x − 1)² e di log(1 + 4x²):

e^2x = 1 + (2x) + (2x)²/2! + (2x)³/3! + o(x³) = 1 + 2x + 2x² + 4x³/3 + o(x³)

(e^2x − 1)² = (2x + 2x² + 4x³/3 + o(x³))² = 4x² + 8x³ + o(x³)

log(1 + 4x²) = 4x² + o(x³)

Effettuando la differenza tra i due sviluppi sopra scritti, troveremo lo sviluppo richiesto:

f(x) = 8x³ + o(x³).

2. Determinare la parte principale e l’ordine di infinitesimo di f(x) per x → 0.

Per x → 0, si è visto che f(x) = 8x³ + o(x³), e dunque f(x) ∼ 8x³. Pertanto:

La parte principale di f(x) è h(x) = 8x³ e il suo ordine di infinitesimo è 3.

3. Determinare f⁽³⁾(0).

Il coefficiente di x³ del polinomio di MacLaurin di una generica funzione f(x) vale f⁽³⁾(0)/3!.

Nel nostro caso f⁽³⁾(0)/3! = 8 e dunque:

f⁽³⁾(0) = 48.

4. Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto O = (0, 0).

La retta tangente al grafico di f(x) nel punto corrispondente ad x = 0 ha equazione y = T₁(x), dove T₁(x) è il polinomio di MacLaurin di grado 1 di f(x). Quindi:

La retta tangente al grafico di f(x) nel punto corrispondente ad x = 0 ha equazione y = 0.

5. Calcolare il seguente limite:

lim_x→0 f(x) / sin³x.

Visto che si tratta del limite per x → 0, possiamo sostituire ad f(x) il suo sviluppo di MacLaurin trovato in precedenza. Dunque:

lim_x→0 f(x) / sin³x = lim_x→0 (8x³ + o(x³)) / sin³x.

Utilizzando il principio di eliminazione dei termini trascurabili, possiamo trascurare a numeratore l’addendo o(x³); inoltre possiamo sostituire a denominatore la funzione sin x con la funzione x, che le è equivalente per x → 0. Pertanto otteniamo:

lim_x→0 f(x) / sin³x = lim_x→0 8x³ / x³ = 8.