Teoria e definizioni Analisi II

Teoria analisi II matematica

Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz

Questa diseguaglianza dice che il valore assoluto dello scalare tra due vettori è <= del prodotto delle norme dei vettori.

Punti di accumulazione

I punti di accumulazione sono punti dove per ogni raggio che si prende, esiste una palletta diversa da zero che interseca l’insieme. I punti che non sono d’accumulazione si dicono isolati.

Insiemi aperti e chiusi

Un insieme si dice chiuso quando tutti i punti di accumulazione hanno una palletta dove risiede almeno una parte dell’insieme. Un insieme si dice aperto quando tutti i punti del dominio hanno una palletta completamente contenuta nell’insieme.

Frontiera

La frontiera di un insieme è l’intersezione tra l’insieme con i punti di accumulazione e l’insieme complementare con i punti di accumulazione.

Gradiente, derivabilità, continuità e differenziabilità

Il gradiente di una funzione è il vettore con componenti le derivate parziali della funzione. Una funzione è derivabile se il gradiente è definito. Se il gradiente è continuo e definito in un punto, allora la funzione è differenziabile in quel punto. La direzione in cui la funzione cambia di più è la direzione del gradiente.

Derivata direzionale

La derivata direzionale è la derivata rispetto a una direzione “v” di una funzione che descrive tutti i punti di una retta in direzione “v”.

Teorema del differenziale totale

Il teorema del differenziale totale è il limite che viene usato per verificare la differenziabilità in un punto dove il gradiente non è continuo o non è definito.

• C0 = funzione è continua
• C1 = funzione è continua ed il gradiente continuo
• C2 = funzione è continua, ha il gradiente continuo ed ha le derivate seconde continue

Teorema della funzione composta

Il teorema della funzione composta dice che si può derivare una funzione composta facendo il prodotto scalare tra il gradiente della funzione e il vettore velocità (dx/dt).

Curve di livello

Le curve di livello sono curve che descrivono punti alla stessa quota.

Teorema di Schwarz

Il teorema di Schwarz dice che se la funzione ammette derivate parziali miste ed esse sono continue in (x0,y0), allora le derivate miste coincidono.

Matrice Hessiana

La matrice hessiana è una matrice con derivate seconde omogenee sulla diagonale e derivate miste fuori dalla diagonale.

Punti critici (massimi, minimi, selle)

Un punto è critico o stazionario se il gradiente di una funzione è nullo in quel punto. Nei punti critici, il piano...