Analisi matematica II - corso completo teoria

Analisi matematica II

Lezione 22 febbraio 2021

Integrali impropri

∫_a^b f(x) dx

f ∈ E⁰ ([a, b])

In analisi matematica I sono state considerate funzioni con discontinuità di 1ª specie.

f è continua in ogni intervallo [a, a₁]; [a_i, a_i+1] ... [a_m, b]

Esistono dunque lim_x→ai^- f(x); lim_x→ai⁺ f(x) finiti e ciò significa che f è integrabile in (a, b):

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^a₁ f(x) dx + ∫_a1^a₂ f(x) dx + ... + ∫_am^b f(x) dx

Questo per quanto riguarda integrali di funzioni limitati.

Consideriamo ora integrali di funzioni non limitati.

Sia f: [a, b) → ℝ \ f ∈ E⁰ ([a, b])

lim_x→b^- f(x) = +∞ (oppure −∞)

Come definire ∫_a^b f(x) dx (è possibile)?

Analisi matematica II

Lezione 22 febbraio 2021

Integrali impropri

∫_a^b f(x) dx f ∈ ℒ^∞([a,b])

In analisi matematica I sono state considerate funzioni con discontinuità di 1^a specie.

f è continua in ogni intervallo [a,a₁]; [a_i, a_i+1] ... [a_m, b]

Esistono dunque lim_x→ai^- f(x); lim_x→ai⁺ f(x) finiti e ciò significa che f è integrabile in [a,b]:

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^a₁ f(x) dx + ∫_a1^a₂ f(x) dx + ... + ∫_am^b f(x) dx

Questo per quanto riguarda integrali di funzioni limitati.

Consideriamo ora integrali di funzioni non limitati.

Sia f: [a,b) → ℝ \ f ∈ ℒ^∞([a,b])

lim_x→b^- f(x) = +∞ (oppure -∞)

Come definire ∫_a^b f(x) dx (è possibile)?

Idea

Perché f ∈ Ε^°([a, b-ε]) con ε > 0 => è ben definito ∫_a^b-ε f(x) dx. (*)

Calcolo lim_ε→0⁺ ∫_a^b-ε f(x) dx e se tali limiti esist. finiti si den. da f è integrabile in senso improprio in [a, b] e si pone:

∫_a^b f(x) dx = valore dei limiti sopra (*)

Se il limite (*) esist. ma vale +∞ oppure -∞ si dice che ∫_a^b f(x) dx è divergente.

Se il limite (*) non esist. si dice.

Esempio

∫₀¹ 1/(1-x)^1/2 dx

f(x) = 1/(1-x)^1/2 = 1/√(1-x)

(E)^°[0,1) => f è illimit. in un intorno di x = 1° [0, 1-ε]

∫₀^1-ε 1/(1-x)^1/2 dx = [-2 (1-x)^1/2]^1-ε₀ = (−2(1−1+ε)^1/2 + 2 = = −2 ε^1/2 + 2

lim_ε→0⁺ −2ε^1/2 + 2 = 2

Esiste ∫₀^{1 1}/_(1-x)^1/2 = 2

Punto di improprietà

x = a è p.to di improprietà.

Analog. osserv. e consideriamo f ∈ E°([a,b[)

f ∈ℰ([a + ε, b])

∫_a+ε^b f(x) dx

lim_ε→0⁺ ∫_a+ε^b f(x) dx =

• Esiste finito (1)
• Esiste uguale a +∞ oppure -∞ (2)
• Non esiste (3)

Nel caso (1) esiste l'integrale ∫_a^b f(x) dx in senso improprio ed è uguale al limite in (1).

Nel caso (2) l'integrale ∫_a^b f(x) dx è divergente.

Nel caso (3) l'integrale non esiste.

Esempio con parametro alpha

Esempio: Stabilire per quali valori di α ∈ ℝ esiste l'integrale improprio (o generalizzato)

∫₀^{1 1}/_x^α dx

f(x) = ₁/^xα se α ≤ 0

= 1_/x^α se α > 0

f ∈ E°([0,1)) ∪ α ≤ 0 = 0 f integrabili

Se α > 0 f ∈ E°(0,1)) e f illimitati in x = 0

∫¹_ε 1_/x^α dx = [_x^-α+1/^-α+1]¹_ε se α ≠ 1

= [_{log x}]¹_ε se α = 1

Se α > 0, α ≠ 1 lim_ε→0⁺ [_x^-α+1/^-α+1]¹_ε = lim_ε→0⁺(1_/1-α - ε^-α+1/1-α) = 1_/1-α - 1_/1-α lim_ε→0⁺ ε^1-α

1_/1-α 1-α > 0 ⇒ α < 1

+∞ 1-α < 0 ⇒ α > 1

⇒ lim_ε→0⁺ ε^1-α =