Teoria Analisi II

Teoria analisi II

1) Integrali doppi

Formula per insieme verticalmente connesso:

∫_y1^y₂ (∫_x1(y)^x₂(y) f) dx) dy = ∫_x1^x₂ (∫_y1(x)^y₂(x) f) dy) dx.

Formula per insieme orizzontalmente connesso:

∫_x1^x₂ (∫_y1(x)^y₂(x) f) dy) dx = ∫_y1^y₂ (∫_x1(y)^x₂(y) f) dx) dy.

Formula per il cambio di variabili:

∫∫_D f(x(u,v), y(u,v)) det J (∕ ∕) d(u,v) du dv

Le coordinate polari

x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
det J = ρ

Le coordinate ellittiche

x = a ρ cos θ
y = b ρ sen θ
det J = abρ

Nota bene: Nel caso delle coordinate ellittiche, essendo l'equazione ∕∕²∕a² + ∕y∕²∕b² = 1, una volta fatto il cambio di variabile ρ varia da 0 a 1.

Formula per il calcolo del baricentro

Il baricentro (centro di massa) è, come studiato in Fisica, la somma delle distanze dei punti fratto la massa totale.

→ Massa totale: M = ∫∫∕∫r(x, y) dx dy con r(x, y) = densità

x^* = 1∕M ∫∫_D x r(x, y) dx dy

y^* = 1∕M ∫∫_D y r(x, y) dx dy

Teoria analisi II

1) Integrali doppi

Formula per insieme verticalmente connesso:

∬_D f dx dy = ∫_a^b dx ∫_γ1(x)^γ2(x) f dy

Formula per insieme orizzontalmente connesso:

∬_D f dx dy = ∫_c^d dy ∫_α1(y)^α2(y) f dx

Formula per il cambio di variabili:

∬_D f (g(u,v)) det J (ξ(u,v)) du dv

Le coordinate polari

x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
det J = ρ

Le coordinate ellittiche

x = a ρ cos θ
y = b ρ sen θ
det J = abρ

Nota bene: Nel caso delle coordinate ellittiche, essendo l'eq. x²/a² + y²/b² = 1, una volta fatto il cambio di variabile ρ varia da 0 → 1.

Formula per il calcolo del baricentro

Il baricentro o centro di massa è come studiato in Fisica, la somma delle distanze dei punti fratto la massa totale.

Massa Totale: M = ∫_Ω ρ(x,y) dx dy

x^* = 1/m ∫_Ω x ρ(x,y) dx dy

y^* = 1/m ∫_Ω y ρ(x,y) dx dy

In particolare, se la densità è costante, m = ∫∫ dx dy, cioè l'area di .

• Formula per il calcolo del momento d'inerzia rispetto all'origine:

I_o = I_x + I_y = ∫∫ (x² + y²) μ(x, y) dx dy = ∫∫ d² μ(x, y) dx dy

con d² la distanza al quadrato dall'origine di un punto (x, y).

• Formula per il calcolo dell'inerzia rispetto ad una retta qualsiasi:

I = ∫∫ d_r² μ(x, y) dx dy con d_r distanza fra due punti

d² = (x - x_P)² + (y - y_P)² P(x, y)

• Formula per il calcolo dell'area:

area() = ∫∫ 1 dx dy

2) Integrali tripli

• Formula di integrazione per fili:

Data un insieme convesso o semplice rispetto a z, posso eseguire l'integrazione per fili come:

∭ δ(x, y, z) dx dy dz = ∫_D (∫_{g1(x, y)}^{g₂(x, y)} δ(x, y, z) dz) dx dy è semplice se z è compreso fra due superfici

• Formula di integrazione per strati:

Data una funzione f(x, y, z) con z ∈ [, ] posso eseguire l'integrazione per strati nel seguente modo:

∭ ρ(x, y, z) dx dy dz = ∫ (∬_A δ(x, y) dx dy) dz

Formula per il cambio di variabili:

∫∫∫_Ω̅ β(x,y,z) dx dy dz = ∫∫∫_Ω β̅(u,v,w) . det J(u,v,w) du dv dw

Coordinate cilindriche

x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ζ
det J = ρ

ρ ∈ [0,+∞]
θ ∈ [0,2π]
ζ ∈ ℝ

Coordinate sferiche