Moto dei proiettili: definizione ed analisi del moto parabolico

SteDV
di SteDV
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Analizza il moto parabolico, noto come moto dei proiettili, esaminando le leggi orarie che regolano il movimento bidimensionale. Approfondisci la traiettoria, la gittata e le componenti orizzontali e verticali, fondamentali per comprendere la fisica del proiettile.

Concetti Chiave

  • Il moto parabolico, noto anche come moto del proiettile, avviene lungo due direzioni: orizzontale e verticale, seguendo una traiettoria parabolica.
  • Il proiettile, dopo essere stato sparato, è soggetto alla forza di gravità e si muove in caduta libera, mentre l'attrito dell'aria viene trascurato per semplificare i calcoli.
  • La legge oraria del moto orizzontale è caratterizzata da una velocità costante, mentre il moto verticale presenta un'accelerazione dovuta alla gravità.
  • La traiettoria di un proiettile può essere descritta da un'equazione che combina le leggi orarie del moto orizzontale e verticale, mostrando la relazione tra le posizioni x e y.
  • La gittata orizzontale R raggiunge il valore massimo quando l'angolo di lancio è di 45°, risultando dalla formula R = (2v0²/g)sin(θ0)cos(θ0).

In questo appunto di Fisica tratteremo del moto parabolico, introducendo le formule delle leggi orarie che governano tale moto e dando una definizione di gittata e traiettoria.
Il moto parabolico, meglio noto come Moto del Proiettile è un particolare tipo di moto che, al contrario del moto uniformemente accelerato o del moto rettilineo uniforme, avviene contemporaneamente lungo due direzioni. In particolare, questo tipo di moto si verifica ogni qualvolta il corpo, o punto materiale, si trova in caduta libera e presenta contemporaneamente una velocità non nulla nella direzione perpendicolare alla direzione di caduta. Inoltre, il moto viene detto parabolico perché durante questa caduta libera il corpo segue una traiettoria parabolica. In generale, si definisce traiettoria il luogo geometrico dato dall’insieme complessivo delle posizioni (o punti rispetto a un determinato sistema di riferimento) occupate dal punto materiale nel corso del suo moto.

Moto dei proiettili: definizione ed analisi del moto parabolico articolo

Moto di un proiettile

Dopo questa breve introduzione, entriamo nel dettaglio e cerchiamo di capire meglio quanto detto.
Quando parliamo del moto di un proiettile quindi, possiamo facilmente intuire che il proiettile non è altro che il corpo, o punto materiale, che descrive questo arco di parabola durante il suo moto. Nel momento dello sparo, infatti, sul proiettile viene applicata una forza tale che quando esce dalla canna del fucile, possiede una velocità iniziale
[math]\textbf{v}_0[/math]
avente direzione coincidente con la direzione della canna-fucile. Dopo lo sparo, inoltre, il proiettile sarà soggetto anche alla forza di gravità e quindi si troverà in un moto di caduta libera per effetto dell'accelerazione di gravità
[math]\textbf{g}[/math]
, rivolta sempre verso il basso.
In generale, per semplificare questo tipo di problema, nella trattazione fisica-matematica si trascurano le forze di attrito dovute alla presenza dell’aria che, nella realtà, rallentano il moto del proiettile. Ad ogni modo, questo tipo di approssimazione (molto frequente nei problemi di Fisica) ci permette di comprendere meglio le dinamiche del fenomeno fisico in questione per poi, eventualmente, adattarlo alle condizioni più generali e realistiche.
Nel prossimo paragrafo vedremo nel dettaglio i due tipi di moto a cui è soggetto il proiettile durante il moto.

Qual è il moto del proiettile in due direzioni: orizzontale e verticale?

Come detto precedentemente, il moto dei proiettili si sviluppa lungo due direzioni indipendenti l'una dall'altra ma, correlate alle componenti del vettore velocità iniziale

[math]\textbf{v}_0[/math]
. Introdotto un sistema di riferimento cartesiano, possiamo dire che il vettore velocità iniziale
[math]\textbf{v}_0[/math]
è orientato secondo un angolo
[math]θ_0[/math]
rispetto all’asse delle ascisse; in particolare, questo angolo viene chiamato alzo.
A questo punto possiamo scrivere le componenti del vettore velocità lungo la direzione x e lungo la direzione y.

[math]v_{0,x} = v_0 \cos{ θ_0},\qquad v_{0,y} = v_0 \sin{ θ_0}[/math]

N.B. per ottenere le due componenti del vettore velocità abbiamo semplicemente utilizzato le formule di trigonometria.
Ad ogni modo, il moto orizzontale è caratterizzato da una velocità

[math]v_x[/math]
costante in quanto l'accelerazione è nulla. Di fatti, se scriviamo la legge oraria lungo la direzione orizzontale, avremo che:

[math] x – x_0 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2[/math]

Ma, essendo

[math] a = 0[/math]
, la legge diventa:

[math]x – x_0 = v_{0,x} t + \frac{1}{2} (0) t^2 = v_{0,x} t = v_0 \cos(θ_0)\cdot t[/math]

Quindi, lungo la direzione orizzontale il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme con velocità costante e pari, in qualsiasi istante, alla componente orizzontale della velocità iniziale (

[math]v_x = v_{0,x}[/math]
).
Viceversa, il moto verticale è caratterizzato dalla presenza dell’accelerazione di gravità
[math]\textbf{g}[/math]
, perciò lungo la direzione orizzontale il proiettile si muovo di moto rettilineo uniformemente accelerato , cioè il moto di caduta libera dei corpi.
La legge oraria in questo caso è:

[math]y – y_0 = v_{0,y} t + \frac{1}{2} (-g) t^2 = v_0 \sin(θ_0)\cdot t - \frac{1}{2} g t^2[/math]

Inoltre, sapendo che

[math]v = v_0 + a t [/math]
, allora la velocità lungo la direzione verticale sarà:

[math]v_y = v_{0,y} + (-g) t = v_0 \sin(θ_0) - gt[/math]

N.B. Il segno negativo nell’accelerazione di gravità è relativo al fatto che questa accelerazione è diretta nel verso opposto al nostro sistema di riferimento, dove abbiamo ipotizzato che l’asse y sia positivo e diretto verso l’alto.
Ad ogni modo, è importante sottolineare il fatto che queste due leggi orarie (quello lungo x e quella lungo y) valgono contemporaneamente, cioè il proiettile segue entrambe le leggi orarie nello stesso istante. Semplicemente la prima indica la sua posizione lungo l’asse delle ascisse, mentre la seconda lungo l’asse delle ordinate; questo perché il corpo non si muove solo lungo la direzione ma nel piano cartesiano.
Per riassumere, possiamo quindi dire che le leggi orarie del moto parabolico o del moto del proiettile sono:

[math] \begin{cases} x = x_0 + v_{0,x} t \\ y = y_0 + v_{0,y} t - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases}[/math]

Le equazioni che descrivono separatamente il moto orizzontale e il moto verticale dei proiettili possono essere quindi combinate rispetto al tempo

[math]t[/math]
(in quanto unica variabile in comune nel sistema), per ottenere la funzione corrispondente alla traiettoria; normalmente la traiettoria è riferita alla posizione iniziale (
[math]x_0 = 0, y_0 = 0[/math]
).

[math]y = \tan(θ_0)\cdot x - \frac{g x^2}{2 [v_0 \cos{(θ_0)}]^2}[/math]

Allo stesso modo, è possibile ricavare la gittata orizzontale

[math]R[/math]
, corrispondente allo spazio coperto dal proiettile per ritornare alla quota di lancio, cioè alla posizione iniziale lungo l’asse delle ascisse (
[math]y_0[/math]
). In alcuni casi, la quota iniziale corrisponde con l’origine del sistema di riferimento (quindi
[math]y_0=0[/math]
), ma il proiettile arriva ad una posizione finale che si trova al di sotto del sistema di riferimento (quindi
[math]y>0[/math]
).

[math]R = \frac{2v_0^2}{g} \sin{(θ_0)} \cos{(θ_0)} = \frac{v_0}{g} \sin{(2θ_0)}[/math]

Moto dei proiettili: definizione ed analisi del moto parabolico articolo

N.B. La gittata orizzontale

[math]R[/math]
, per una stessa velocità iniziale, assume il valore massimo quando
[math]\sin{(2θ_0)} = 1[/math]
, cioè quando l'alzo
[math]θ_0[/math]
è pari a 45° (cioè π⁄4).
Nel prossimo paragrafo sono presenti dei link di approfondimento e ripasso degli argomenti trattati in questo appunto di Fisica.

Moto del proiettile: Link di approfondimento

Per ulteriori informazioni e apprendimento su quanto detto in questo appunto, si consiglia la lettura dei seguenti appunti:
moto di caduta libera
caduta libera dei corpi
moto parabolico
moto rettilineo uniforme
moto uniformemente accelerato
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Cos'è il moto parabolico e quali sono le sue caratteristiche principali?

    2. Il moto parabolico, noto anche come moto del proiettile, è un tipo di moto che avviene lungo due direzioni contemporaneamente: orizzontale e verticale. Si verifica quando un corpo in caduta libera ha una velocità non nulla perpendicolare alla direzione di caduta, seguendo una traiettoria parabolica.

  2. Qual è la differenza tra il moto orizzontale e il moto verticale di un proiettile?

    3. Il moto orizzontale è caratterizzato da una velocità costante, poiché l'accelerazione è nulla, mentre il moto verticale è soggetto all'accelerazione di gravità, risultando in un moto uniformemente accelerato. Le leggi orarie per entrambi i moti sono diverse e si applicano simultaneamente.

  3. Come si calcolano le componenti della velocità iniziale di un proiettile?

    4. Le componenti della velocità iniziale [math]v_0[/math] lungo le direzioni x e y si calcolano utilizzando la trigonometria: [math]v_{0,x} = v_0 \cos{θ_0}[/math] e [math]v_{0,y} = v_0 \sin{θ_0}[/math], dove [math]θ_0[/math] è l'angolo di alzo.

  4. Qual è la formula per la gittata orizzontale di un proiettile?

    5. La gittata orizzontale [math]R[/math] è data dalla formula [math]R = \frac{2v_0^2}{g} \sin{(θ_0)} \cos{(θ_0)}[/math]. Essa raggiunge il valore massimo quando l'angolo di alzo [math]θ_0[/math] è pari a 45°.

  5. Come si ottiene l'equazione della traiettoria di un proiettile?

    6. L'equazione della traiettoria si ottiene combinando le leggi orarie del moto orizzontale e verticale rispetto al tempo [math]t[/math]: [math]y = \tan(θ_0) \cdot x - \frac{g x^2}{2 [v_0 \cos{(θ_0)}]^2}[/math], descrivendo la posizione del proiettile nel piano cartesiano.

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