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Spazi vettoriali su ℝ

V ≠ ∅ insieme (V, +, .)

∃ +: V × V → V

∀, ∈ V (,) → + somma

Proprietà

S1: + = + commutativa ∀,, ∈ V

S2: ( + ) + = + ( + ) associativa

S3: ∃ 0v ∀ ∈ V + 0v =

S4: ∀ ∈ V ∃ − ∈ V tale che + (−) = 0v

Moltiplicazione per scalare

Moltiplicazione per scalare · : ℝ × V → V

∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ V

Proprietà

M1: ( + ) = +

M2: ( + ) = +

M3: () = ()

M4: 1ℝ = ∀ ∈ V

⇒ V è uno spazio vettoriale su ℝ

Esempi

|ℝ|

ℝℝ3 = {(1, 2, 3) | ∈ ℝ}

(1, 2, 3) + (1, 2, 3) = (1+1, 2+2, 3+3)

0v = (0,0,0)

(1, 2, 3) + (−1, −2, −3)

· : ℝ × ℝ3 → ℝ3

∀ ∈ ℝ (1, 2, 3) ∈ ℝ3

(1, 2, 3) = (1, 2, 3)

ℝ3

ℝn = {(1, 2, ..., m) | ∈ ℝ}

I=[, ] ⊆ℝ

C (I): insieme delle funzioni continue : → ℝ, ∈ C (I)

( + )() = () + ()

↓ funz. continua ( + ) ∈ C (I) se () + () continua

= 0v ∀ ∈ () = 0ℝ

−() () ∈ (−)(): 0ℝ

· : ℝ × C (I) → C (I)

∀ ∈ ℝ ∈ C (I)

∀ ∈ . () ·()

↓ soddiamp. ∀ ∈ C (I), ∈ C (I)

∀ ∈ [, ] ((x) ± (x))−( ± )= 1 ± 2= 1 ± 2

⇒ C (I) è uno spazio vettoriale

Spazi vettoriali su RV

V ≠ ∅ insieme (V, +, .)

+ : V × V → V

(ν, ω) ↦ ν + ω

Somma

Proprietà

S1: ν + ω = ω + ν

Commutativa ∀ ν, ω, t ∈ V

S2: (ν + ω) + t = ν + (ω + t)

Associativa

S3: ∃ 0v ∈ V tale che ν + 0v = ν ∀ ν ∈ V

Elemento neutro (chiamato zero di V)

S4: ∀ ν ∈ V ∃ ν' ∈ V l'opposto cioè ∃ ω' ∈ V tale che ν + ω' = 0v

ω' è indicato con -ν

Moltiplicazione per scalare

• : ℝ × V → V

(λ, ν) ↦ λν

Proprietà

M1: λ(ν + ω) = λν + λω

M2: (λ + μ)ν = λν + μν

M3: λ(μν) = (λμ)ν

M4: 1ℝν = ν

∀ ν, ω ∈ V

λ, μ ∈ ℝ

⇒ V è uno spazio vettoriale su ℝ

Esempi

ℝ = {(a1, a2, a3) | ai ∈ ℝ}

(a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

O = (0, 0, 0)

α(a1, a2, a3) = (αa1, αa2, αa3)

α ∈ ℝ, (a1, a2, a3) ∈ ℝ3

ℝn = {(a1, a2, ..., am) | ai ∈ ℝ}

I = [a, b] ⊆ ℂ

C(I): insieme delle funzioni continue

f : I → ℝ

f, g ∈ C(I)

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(-P)(x) = -P(x) = 0R

(P - g) ∈ C(I) se (f + g) continue

• : ℝ × C(I) → C(I)

(λP)(x) = λ(P(x))

∀ x ∈ I

∀ f ∈ C(I)

∀ λ ∈ ℝ

Soddisfa S1, S2, S3, S4

ex λ(ν + ω) = λP + λg

(λ + μ)P = λP + μP

(λμ)P = λ(μP)

1ℝP = P

⇒ C(I) è uno spazio vettoriale

Prodotto scalare su V spazio vettoriale

<V x V → R

<v, w> = <w, v>

Proprietà

PS1: <v, w> = <w, v> (Commutativa)

PS2: <λv1 + v2, w> = λ<v

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
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