Funzioni in due variabili

Revisionato il 23/07/2026

di NoraF01

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Schemi ordinati e completi sulle funzioni in due (o n) variabili:-limiti, derivate parziali, derivate direzionali-differenziabilità, formula del gradiente, proprietà del …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. Sianesi Francesca

Università Politecnico di Milano

A.A. 2021-2022

31 pagine

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Forme quadratiche

Forma quadratica in 2 variabili

Si chiama forma quadratica in 2 variabili un polinomio di secondo grado omogeneo:

Q(h,k) = ah² + 2bhk + ck²

La matrice di Q A = ⎡^{a b}/ _{b c}⎦ è simmetrica.

Infatti, si ha che:

Q(h,k) = ⎡^h/ _k⎦⎡^{a b}/ _{b c}⎦ ⎡^h/ _k⎦ = ⎡^{ah + bk}/ _{bh + ck}⎦ ⎡^h/ _k⎦ = (ah + bk)h + (bh + ck)k = ah² + 2bhk + ck²

Forma quadratica in n variabili

In generale, una forma quadratica in n variabili è un polinomio omogeneo di secondo grado in n variabili:

Es.: n=3

Q(h₁,h₂,h₃) = a₁₁h₁² + a₂₂h₂² + a₃₃h₃² + 2a₁₂h₁h₂ + 2a₁₃h₁h₃ + 2a₂₃h₂h₃

Matrice associata:

A = ⎡^{a₁₁ a₁₂ a₁₃}/ _{a₁₂ a₂₂ a₂₃}/ _{a₁₃ a₂₃ a₃₃}⎦

Q(h₁,h₂,h₃) = ⎡^h₁ ^h₂ ^h₃⎦ A ⎡^h₁ ^h₂ ^h₃⎦

Forma quadratica in n variabili:

Q(h) = h^T ⋅ A ⋅ h A matr. sim. n x n

Proprietà

Q(o) = 0
Q(th) = t²Q(h)

∀ t ∈ R, ∀ h ∈ Rⁿ

Se Q(h,k) > 0 ⇒ Q(th,tk) > 0

Se Q(h,k) se Q(h,k) = 0 ⇒ Q(th,tk) = 0

∀ t ≠ 0

Forme quadratiche

Forma quadratica in 2 variabili

Si chiama forma quadratica in 2 variabili un polinomio di secondo grado omogeneo:

La matrice di Q A = ^{[ a b ]} _{[ b c ]} è simmetrica.

Infatti, si ha che:

^{[ h k ]}_{[ a b ]} _{[ b c ]} _{[ h k ]} 1_{[ ah + bk bh + ck ]} ^{[ h k ]} = (ah + bk)h + (bh + ck)k = ah² + 2bhk + ck²

In generale, una forma quadratica in n variabili è un polinomio omogeneo di secondo grado in n variabili.

Es. ➔ n=3 Q(h₁,h₂,h₃) = a₁₁h₁² + a₂₂h₂² + a₃₃h₃² + 2a₁₂h₁h₂ + 2a₁₃h₁h₃ + 2a₂₃h₂h₃.

Matrice associata A = ^{[ a₁₁ a₁₂ a₁₃ ]} _{[ a₁₂ a₂₂ a₂₃ ]} _{[ a₁₃ a₂₃ a₃₃ ]}

Q(h₁,h₂,h₃) ➔ [ h₁ h₂ h₃ ] A^{[ h₁ ]} _{[ h₂ ]} _{[ h₃ ]}

➔ Forma quadratica in n variabili:

Q(h) = h^t . A . h A matr. sim. n x n

Proprietà

Q(o) = o
Q(th) = t²Q(h)

∀t∈IR, ∀h∈IRⁿ

Se Q(h,k) > 0 ➔ Q(th,tk) > 0

Se Q(h,k) se Q(h,k) = 0 ➔ Q(th,tk) = 0

∀t ≠ 0

Definizione

Una forma quadratica Q(h) si dice che è:

Definita positiva (o negativa) se Q(h)≥0 (≤0) ∀h∈ℝⁿ e se Q(h)=0 se e solo se h=0
Semidefinita positiva (o negativa) se Q(h)≥0 (≤0) ∀h∈ℝⁿ e se ∃h ≠0, t.c. Q(h)=0
Indefinita se ∃h₁∈ℝⁿ tale che Q(h₁)>0 e ∃h₂∈ℝⁿ tale che Q(h₂)

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