Funzioni derivate limiti

Revisionato il 01/07/2026

di .aaaraS

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Appunti dettagliati con dimostrazioni ed esercizi su: funzioni, derivate, teorema del valor medio, approssimazioni di funzioni, espansione in serie di Taylor, serie di potenze nel campo …

Esame Matematica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Bottacin Francesco

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

42 pagine

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Funzioni

Iniezione

∀x₁, x₂ ∈ ℝ, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Suriettiva

∀y ∈ ℝ, ∃x ∈ ℝ tale che y = f(x)

Biettiva

Una funzione è biettiva se è iniettiva e suriettiva. Unica inversibile.

Esempi di funzioni

f: ℝ → ℝ

x → y: √x + 2 ⇐ x → √(x - 2) - 2 ⇐ x → -√(x-2)

Funzione seno

f: ℝ → ℝ

x → sin(x) non è invertibile quindi restringo su un sottoinsieme per fare in modo che f: [-π/2, +π/2] → [-1, +1]. Si considera ⇒ sin^-1(y) e l'inversa [-1, +1] → [-π/2, +π/2] y → arcsin(y)

Simmetria

y₁ = arcsin(x). Simmetrica rispetto alla bisettrice.

Funzione coseno

f: ℝ → ℝ

x → cos(x)

Esempi di funzioni e loro proprietà

f: R → R
INIEZIONE: x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)
SURIETTIVA: ∀ y appartenente a R esiste x appartenente a R tale che y = f(x)
BIETTIVA: se f è sia iniettiva che suriettiva è unica invertibile
Esempio 1: f: R → R x → √x
Esempio 2: f: R → R x → sin(x) non è iniettiva quindi restringo su un sottoinsieme per fare in modo che x → sin(x) sia invertibile
Consideriamo f: [-π/2, π/2] → [-1, +1] x ↔ sin(x) è biiettiva quindi è invertibile f^-1 inversa [-1, +1] → [-π/2, +π/2] y ↔ x = arcsin(y) y = arcsin(x)
Simmetrica rispetto alla bisettrice
Esempio 3: f: R → R x → cos(x)

Funzione esponenziale

y = a^x (a = 10, a = e)

x = log_a(y) esiste solo se y > 0

Funzioni iperboliche

Seno iperbolico: sinh(x) s_R(x) = ^{e^x - e^-x} / ₂
Coseno iperbolico: cosh(x) c_R(x) = ^{e^x + e^-x} / ₂
Tangente iperbolica: tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)
cos²(x) + sin²(x) = 1 → circonferenza goniometrica
cosh²(x) - sinh²(x) = 1 → iperbole equilatera

Asintoti

y₁ = x², y₂ = x² - ¹/_x²

Se x è molto grande ¹/_x² tende a zero quindi x² - ¹/_x² tende a x² (si avvicina senza toccarci mai). y = x² e y = x² - ¹/_x² sono asintotici (per x → ±∞).

Derivate

y = f(x)

r: y = m (x - x₀) + y₀ retta passante per (x₀; y₀)

m = f′(x₀)

Come calcolare m: f(x₀ + h_n) - f(x₀) / h_n

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