Trasmissione dei segnali digitali - preamplificatore, formula di Friis, Equivalente passa-basso e passa-banda

Appunti Giuseppe Laterza June 2023

Ruolo del preamplificatore e formula di Friis (domanda 3)

Consideriamo una cascata di ricevitori e modelliamoli come n doppi bipoli, ognuno con una propria temperatura T₁, . . . , T_n e da un guadagno G_i. Assumiamo che abbiano la stessa banda passante B_N. Lo scopo è determinare una temperatura equivalente complessiva T_e che rappresenti il contributo di rumore dell’intero sistema complessivo.

T₁ → T₂ → · · · → T_n (1)

Si usa la formula di Friis:

T_e (equivalente) = T₁ + T₂/G₁ + T₃/(G₁G₂) + · · · + T_N/(G₁G₂ · · · G_N−1) (2)

Per dimostrare la formula, ogni volta che un segnale passa si genera un disturbo che si somma con i successivi.

Per n = 2

La potenza del disturbo complessivo sarà:

P_n = (kG₂B_NT₂) + (kG₁B_NT₁)G₂.

Modellando il tutto come un unico sistema con guadagno complessivo G₁G₂ e temperatura equivalente T_r:

Per essere uguali le due equazioni deve valere che:

kG₁G₂B_NT_r = (kG₂B_NT₂) + (kG₁B_NT₁)G₂. (3)

Dividendo entrambi i membri per kG₁G₂B_N otteniamo:

T_r = kG₂B_NT₂/(kG₁G₂B_N) + kG₁B_NT₁G₂/(kG₁G₂B_N). (4)

Da cui:

T_r = T₂/G₁ + T₁. (5)

Ovvero:

T_e = T₁ + T₂/G₁ (6)

che rappresenta il caso particolare della formula di Friis per due stadi. Studiamo il ragionamento a 3 stadi. L’idea è quella di procedere in modo ricorsivo. Invece di studiare contemporaneamente tutti e tre gli stadi, consideriamo dapprima i primi due come un unico sistema equivalente. Dal caso precedente sappiamo che la temperatura equivalente dei primi due stadi vale:

T_eq,12 = T₁ + T₂/G₁. (7)

I primi due blocchi possono quindi essere sostituiti da un unico sistema avente guadagno G_eq,12 = G₁G₂ (8) e temperatura equivalente T_eq,12. La cascata originaria:

T₁ → T₂ → T₃

diventa quindi:

T_eq,12 → T₃.

A questo punto possiamo riapplicare il risultato ottenuto nel caso di due stadi. La temperatura equivalente dell’intero sistema sarà:

T_e = T_eq,12 + T₃/G_eq,12. (9)

Sostituendo le espressioni di T_eq,12 e G_eq,12 si ottiene:

T_e = T₁ + T₂/G₁ + T₃/(G₁G₂). (10)

Da cui segue:

T_e = T₁ + T₂/G₁ + T₃/(G₁G₂). (11)

Si osserva che il contributo di rumore del secondo stadio viene ridotto dal guadagno del primo stadio, mentre il contributo del terzo stadio vie