Teoria di Progetto di strade - Parte 2

Elementi a curvatura variabile

Definizione e concetti base

La variazione del R produce una variazione dell'accelerazione trasversale nell'unità di tempo → Contraccolpo C = ^Δa/_t [m/s³]

Hp.: curva di transizione tangente e con stesso raggio degli elementi che raccorda. Contraccolpo costante (accelerazione centripeta cresce linearmente nel tempo).

^{d a_N}/_dt = ^d/_dt(^v2/_R) = ^v2 d(1/_R) /_ds ds/dt = v³ d(1/_R) /_ds

→ S = v³ /_C → S = ^A2

Equazione delle clotoidi

Eq. CLOTOIDE = ¹/_A A²¹/_R clotoide centrale. La curvatura (1/_R) è proporzionale all'ascissa curvilinea s.

Casi di studio

Influenza di Hp. sul moto del veicolo:

• v_longa_longI (relativo di transizione) = d^t/dt = l - passo del veicolo

CASO I v_long = rrassidiale, a_long = costante. I è dt costante, s = ¹/₂ at² → x/ ⁰ + l ^y/₀ → k = ²⁵/_a¹/_R = I ^t = I ²⁵/_a^I2/_R² = I^{2 25}/_aR^z = ^{I2 a}/_{2 I²} = A³

Ipoclotoide ed elementi a curvatura variabile

Variazione del R produce una variazione dell'accelerazione trasversale nell'unità di tempo → Contraccolpo

Hp.: curva di transizione tangente e con stesso raggio degli elementi che raccorda. Contraccolpo costante (accelerazione centrifuga varia linearmente nel tempo).

Analisi fisica e variabili coinvolte

↓ _dαN/_dt = ^d/_dt (ν²/_R) = ν^{2 d}/_ds (1/_R) _ds/_dt = ν^{3 d}/_ds (1/_R) → c = costante

→ S_R = ^ν3/_C → S_R = ^A2 eq. CLOTOIDE

Considerazioni dimensionali

Per questioni dimensionali, S = 1/A21/R

Funzione di Hp. sul moto del veicolo

V_enga_longI (relativo di tracciatura) = db/dt = l^' - passo del veicolo

Caso II

V_eng = maxdiinale, a_long = costante. ^d/_ds costante, s = ¹/₂b t ² → k = ²⁵/_au^R = ^j/_{l t} → ²⁵/_a → R³ = A³ (CLIPOLOTOIDE)

Caso III

v = costante, θ' = variabile, θ'' = costante, v = \(\frac{1}{2}\) θ' l² = \(\frac{v}{R}\)

Sviluppi matematici

s = vt = l ⟶ s² = v² t² ⟶ t² = \(\frac{s²}{v²}\) \(\frac{1}{2}\) θ' l² = \(\frac{v}{R}\) ⟶ R s² = \(\frac{27}{θ'''}\) hyperclotoide

Caso IV

v = variabile, θ' = costante, θ'' = variabile, θ''' = costante

s = \(\frac{1}{2}\) a l² ⟶ t² = \(\frac{25}{a}\) l = \(\frac{1}{2}\) θ' l² t = \(\frac{5}{a}\) ⟶ R s = \(\frac{9}{θ''}\)

Clotoide generalizzata

Aglotoide clotoide generalizzata (della famiglia delle spirali)

R Sⁿ = Aⁿ⁺¹ r = raggio di curvatura nel punto P generico, s = ascissa curvilinea

A = parametro di scala, n = fattore di forma, A piccolo = raccordo corto, A grande = raccordo lungo e più graduale

Schema geometrico locale della curva

• F = punto finale della clotoide
• R (m) = raggio dell'arco di cerchio da raccordare
• L (m) = lunghezza dell'arco di clotoide
• τ_p = angolo di deviazione nel generico punto P
• τ_f = angolo di deviazione nel punto di fine della clotoide

Analisi dell'elemento d'arco

dx = ds cos(τ), dy = ds sen(τ)

1/r = s/A² curvatura puntuale

dτ = ds/r = ds · s/A²

Integrando e con c.c. (τ(s=0)=0), τ = s²/(2A²)

A²/2*R = s²/2*R = s/2*M, s = A√(2τ)

ds = A√(2/2) × τ^-1/2 dτ