Teoria delle strutture - Teoria

Teoria delle strutture: ICAR/08

Università degli studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo Ribes

NoteWave_RF

Settore: ICAR/08 Teoria delle strutture

Teoria UNIMORE

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo Ribes

NoteWave_RF

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Luca Lanzoni.

Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram: ig: NoteWave_RF ig: fil_ribes

Catene cinematiche

Introduzione

Le catene cinematiche equivalgono alla meccanica dei corpi rigidi (per noi, le strutture considereremo che non si inflettano; sono come delle bacchette di vetro). Grazie al loro studio, riusciremo a prevedere come le strutture collassano.

Postulato di Eulero

Il postulato di Eulero afferma che, per un corpo rigido in movimento, la traiettoria descritta da ogni suo punto può essere suddivisa in tanti piccoli atti di moto ed ognuno di essi può essere pensato come una rotazione. Ogni moto infinitesimo, può essere visto come una rotazione (anche se il corpo sta ruotando-translando) attorno al suo centro di istantanea rotazione c. Ogni rotazione ha il suo centro di istantanea rotazione (c₁, c₂, ...) che portano il generico punto p a spostarsi in p'.

Riprendendo il disegno in alto e considerando piccoli spostamenti, possiamo facilmente trovare la componente di spostamento up con:

u_p = up_t × up_s, spostamento del punto p a p'.

L'ipotesi di piccoli spostamenti ci permette infatti di dire che φ_i ≪ 1 e φ = infinitesimo, la norma del vettore spostamento è allora data da:

||up_t x up|| = φ . r, con r = CP

Proiettando |u_p| sugli assi cartesiani, si ottiene:

sen(α) → (y_p-y_c)/r allora

|u_p| · sen(α) = -ψκ(y_p-y_c)/r

cos(α) → (x_p-x_c)/r allora

|u_p| · cos(α) = (ψκ(x_p-x_c))/r

Dunque:

u_p = ψ(y_p-y_c) ; v_p = ψ(x_p-x_c)

componente orizzontale del vettore spostamento u_p

componente verticale del vettore spostamento u_p

Le coordinate di P devono essere dati noti. Chiarimento sul segno in base alla convenzione adottata, il segno di u_p e v_p cambia. Nel nostro disegno, u_p ↔ verso sinistra, mentre il vettore del asse xc ↔ preso verso destro v_p sta ruotando in senso antiorario. Se ruota, se in senso orario, avremmo avuto - u_p.

Curiosità

In una struttura composta da più piani rigidi, per stabilire l'azione sismica agente sul generico piano i-esimo (che ipotizzi possa muoversi solo nel suo piano) occorre individuare il suo centro di rotazione → il baricentro delle rigidezze → il piano si muove come se stesse ruotando attorno a C. La forzante sismica andrà divisa in base ai movimenti che i piani fanno attorno a C. Se P appartiene ad un generico corpo rigido come in figura a lato, allora tutti i punti appartenenti a quel corpo rigido stanno ruotando attorno a C.

Definendo S₂ corpo rigido, se v_C S₂ → non si muove (è fisso).

Inoltre, le leggi:

u_φ → valgono ∀ P ∈ Ω_r → sono leggi lineari:

u_φ dipende linearmente dalle coordinate y e verticali delle coordinate x. Nel disegno a lato, il trapezio segnato in blu che parte dai due estremi orizzontali del corpo rigido S₂ e si apre di un angolo φ (tutti dati noti) rappresenta il diagramma v* di ogni punto P ∈ Ω_r, e che chiamiamo quindi v_P. Questo rappresenta di quanto si sono spostando in verticale i punti P ∈ Ω_r. Per trovare, invece, di quanto si sono spostando in orizzontale, si guarda il diagramma per frecce in rosso, ovvero u_φ. Anche qui, si prendono gli estremi, si traccettano verticali, e si congiungono intersecando l’asse y lungo la proiezione di C, come in figura. L'inclinazione è sempre pari a φ. Sopra a C, le frecce sono rivolte verso l'alto.