Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Tabacco Anita, libro consigliato Analisi matematica 1. Ediz. mylab, Tabacco Anita, Canuto Claudio

Teorema, Prima Formula Dell'Incremento Finito

Se g(x) è derivabile in x₀ cioè _x→x0 esiste ed è finito

Allora

g(x) = g(x₀) + g'(x₀)(x-x₀) + ψ(x-x₀) (x→x₀)

Teorema 2

Se g(x) è derivabile in x₀ allora g(x) è continua in x₀ e viceversa

g(x) = g(x₀) + g'(x₀)(x-x₀) + ψ (x-x₀) per x→x₀

Faccia il lim di entrambi i membri.

g(x) = g(x₀)

OSS (non vale il viceversa)

La funzione |g-f(x)| può essere continua in x₀, ma non essere derivabile.

NON UNA VICEVERSA

1. g(x)=b∈ℝ derivabile?

   • lim_h→0 = 0

2. f(x)=ax+b

   • lim_h→0 = a

3. g(x)=sen x

   • lim_h→0 = cosx

NOTAZIONI

lim_h→0 = g'(x₀) = Dg(x₀)

d/dx b = 0

d/dx ax+b = a

d/dx senx = cosx

Teorema, Prima Formula dell'Incremento Finito

Se f(x) è derivabile in x₀ cioè …

Allora

f(x) = g(x) + g'(x₀)(x-x₀) + φ(x-x₀) (k→x₀)

Teorema 2

Se f(x) è derivabile in x₀ allora g(x) è continua in x₀ e viceversa

Dim

f(x) = g(x) + g'(x)(x-x₀) = g(x) per x > x₀

faccio il limite di entrambi i membri …

g(x) = g(x₀)

Oss (non vale il viceversa)

la funzione y=f(x) può essere continua in x₀, ma non essere derivabile

Non vale viceversa

1. f(x) = b ∈ ℝ derivabile?

   •    lim_h→0 = lim_h→0   = lim_h→0 = 0

2. f(x) = ax+b

   • lim_h→0 = lim_h→0 = lim_h→0 = lim_h→0 =

   = lim_h→0 = a

3. f(x) = senx

   • lim_h→0 = lim_h→0 = lim_h→0 = lim_h→0 …

   { 2x+b = μ }

   = senμ-senυ = 2cos … -

   = 2cosx … = cosx

Notazioni

lim_h→0 = f'(x₀) = Df(x₀) =

d/dx = Df(x₀) d/dx =

d/dx b = 0      d/dx ax+b = a      

d/dx senx = cosx      

g(x) = e^x

lim_h→0 e^x+h - e^x / h = lim_h→0 e^x (e^h - 1) / h = e^x

d/dx e^x = e^x

OSS.

g(x) = a^x , a ∈ ℝ, a ≠ 1

log_e y = log_e a^x

log_e y = x log_e a

y = e^{x log_e a}

d/dx a^x = (log e a) . a^x

FORMULA D'INCREMENTO FINITO

f(x) = f(x₀) + f ' (x_i) (x - x₀) + ψ (x - x₀) (x → x₀)

• retto tangente

f(x) - f(x₀) = f ' (x_i) (x - x₀) + φ (x - x₀) (x → x₀)

• parte inetero principale dell'infinitesimo

h = x - x₀ = Δx

f(x) - f(x₀) = Δf

Δf / Δx = f(x_i) + ψ (1)

R.I. f(x) - f(c_α) / x - x₀

per x → x₀

TEOREMA

se la funzione è derivabile in x₀ allora è continua in x₀, ma non vale il viceversa.

• continuità ⇒ derivabilità
• derivabilità ⇒ continuità

• d/dx (costante) = 0
• d/dx (ax + b) = a
• d/dx sen x = cos x
• d/dx e^x = e^x

Regole di Derivazione

Hp:

• f(x) derivabile in x_o
• g(x) derivabile in x_o

1. d/dx {f(x) + g(x)} = d/(dx) f(x) + d/(dx) g(x)

OSS:

x = [x] + {x} = d/(dx) [x] + d/(dx) {x} = d/(dx) ([x]) + d/(dx) ({x})?

in x_o = k ∈ Z non è vera l'uguaglianza fuori dagli interi.

2. d/(dx) {f(x)·g(x)} = d/(dx) f(x) · g(x) + f(x) · d/(dx) g(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

3. d/(dx) f(x)/g(x) con g(x) ≠ 0 => [g'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/(g(x))²

DIM 1.

lim_x→xo {[f(x) + g(x)] - [f(x_o) + g(x_o)])/(x - x_o)} = lim_x→xo {f(x) - f(x_o) + g(x) - g(x_o))/(x - x_o)} = lim_x→xo f(x) - f(x_o)/(x - x_o) + lim_x→xo g(x) - g(x_o)/(x - x_o) = f'(x_o) + g'(x_o)

DIM 2.

lim_x→xo {f(x)·g(x) - f(x_o)·g(x_o)}/(x - x