Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Durante Tiziana, libro consigliato Analisi matematica 1, Marcellini e Sbordone

Indice: limite di funzione

• Assiomi delle operazioni
• Limiti notevoli funzioni
• Insiemi numerici
• Limite destro e sinistro
• Insiemi
• Teorema permanenza segni
• Teorema carabinieri + altri
• Intervalli numerici
• Teorema limite funzioni massimo e minimo monotone
• Maggioranti/minoranti, sup/inf
• Funzioni continue
• Principio di induzione
• Discontinuità + esempi
• Teorema permanenza segno
• Teorema esistenza degli zeri
• Numeri complessi
• Metodo di bisezione
• Complesso coniugato
• Teorema scomposizione limiti
• Forma trigonometrica
• Teorema valori intermedi
• Operazioni
• Teorema valori intermedi 2
• Radice n-esima
• Teorema Weierstrass
• Funzioni
• Funzioni iniettive e suriettive
• Grafico di una funzione
• Funzioni elementari
• Funzioni monotone
• Funzioni composte
• Funzioni invertibili
• Schemi disequazioni
• 1º grado/2º grado
• Irrazionali
• Con valore assoluto
• Esponenziali
• Successioni
• Teorema unicità limite
• Teorema successione convergente
• Teorema confronto e carabinieri
• Teorema permanenza segno
• Operazioni limiti
• Forme indeterminate
• Limiti notevoli
• Gerarchie infinite
• Successioni monotone
• Successioni estratte
• Teorema Bolzano Weierstrass

Assiomi delle operazioni

Quello dei numeri reali è un insieme non vuoto in cui sono definite due relaizioni che sono somma e prodotto.

Assiomi delle operazioni V Q,D,CER loxcassociativa: CaxbJxc- xa-(per somma e prodotto) )l bocl ab tC ca-) )ab.

Commutativa: cambiando l’ordine- -ltaldegli elementi il risultato non aubo boascambia aLbxc adotac.

Distributiva: distribuire il3 )-prodotto I VAER.

Elemento neutro per la somma: 0 a toL -a1 4:

Elemento neutro per il prodotto: 1 FaERFyG aoz: -a.

Esistenza degli opposti: per ogni6 numero reale a esiste un altro . FaERFaER axta so numero che sommato al primo ) restituisce l’elemento neutro della somma.

Esistenza degli inversi: è il7 numero che moltiplicato per il si FaER alolato )numero stesso restituisce Fa E R: l’elemento neutro del prodotto. L’inverso si denota con a \5.

Assiomi di ordinamento

Assiomi di ordinamento: å Dicotomia: due numeri reali sono bcoaxt sempre confrontabili, a VabER si ha oppuze -differenza di due numericomplessi. Presi due numeri uguali o a è minore di b o il contrario. s

Asimmetria: se si verificano g astoalsaashpez allozacontemporaneamente entrambe le condizioni vuol dire che a=b.

Se due numeri sono > di 0 lo saranno se alloza Osatbo1 ws aD anche la loro somma e prodotto lo Osto o s a VCER.

Si può sommare a destra e sinistra QtCIOXCasbsevfy allora una stessa quantità.

La proprietà che caratterizza i numeri reali è la continuità della retta reale.

Assioma di completezza

AssiomA di COMPLETEZZA: Se prendiamo due insiemi di A e B non vuoti con la condizione che ogni^ z l’elemento del primo sia minore o uguale di ogni elemento del secondo, esiste un (e uno solo) elemento di separazione che separa i due insiemi.

Esempio: Se prendiamo come primo insieme i numeri minori di 0 e come. secondo insieme quelli maggiori di 0, esiste BasbVacA Vb FCER asO-Fabe b-BT.

Conseguenze degli assiomi dei numeri reali

Alcune conseguenze degli assiomi dei numeri reali: SEMPLIFICAZIONE RISPETTO ALLA SOMMA^ sisemplilicalaa(3 bxalcozaattosate dimostraredolbiamobosashese 0)( Desomema diqualsiasilo6:0bsißwösczåwate : "a.

NUMERO OPPOSTO SWOLON ILtlocor ma to att-aB376:-(Galta3to faltlotb). ASSOCTATIzaGonrutativs (6:thatetoBosto sidhaiak -ta) )pwo schiwase associativaa D alta3xcss OXC Cs.

SEMPLIFICAZIONE RISPETTO AL PRODOTTO2 sempailicaş siaallotabsac }bscatose ese s3-l iesiponsczivere conb prodottoasnwmexo mullot o pud Cmondiwn numero0 -bof bara'lscravera torecormen )il imversopec swo- sarb)oCal)Assocativolacoens JoCoatsacaCanhoboiarm dahtwo aha acbossianmoquimaliOobo -IsC-ae "]sostituizeo -.

ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO: un prodotto è nullo solo se uno dei: fattori è nullo aob 6aso oppur:o sotesicse dimostratainaso Fa Ose a dimostrateallowe chetocdobbiamoquiendoa40D -b6 ipotesiper soppiemossboe -la0a") che atoob)oa's. sooókço.

VICEVERSA Bot labandimostraleabs aososie eproriamo che i0 -olQottQOOetQoD =ao-a=atO- -aC1tOJatard capplicasi proplietedt sato rispattoathaesempecificationeatlaro sormoma)-attlolO =O.

UNICITÀ DELL’OPPOSTO: se suppongo l’esistenza di un altro opposto scopro4 che questo coincide con quello che ho già, tramite la regola di semplificazione. attaXat so-a: }ipotegißer to :IEHE atloso SUPPOWIAnassuzeaho k semmpailicazioneattabattl toshan s ipotizzatolo che avewamo b losse aoppostooahtwowon, in Zalte saeè quindi unico.

Insiemi numerici

Insiemi numerici I ğasia somma che21,38,4,5...} Numeri naturali - prodotto cheestrazione}{ Numeri relativi: :3,.3, 1,0s1p,s... Solo sommo e prodotto L}{ Numeri razionali çî om ns m m, . 2,R Ep Numeri reali: 9}aEPEZaodn 2. 2o,...,, , sian} R numeri irrazionali II ad 15ass :-D 2,

QUANTIFICATORI E SIMBOLI LOGICI. non esiste esiste- è unico implicazionioo o18oo oo q contraddizione esiste ed è unicoW.

Dimostrazione che 2 non si può scrivere come frazione é CQce che non esiste alcun numero razionale c tale che: 2m, n non entrambi pari.

Supponiamo per assurdo che esista perchè m/n sono primi tra loro visto che la frazione è ridotta aglizz 2gwirzdi ultimi termini mim rmshzn 22 I 22n è pari, quindi m è pari, quindi, m è pari si ha che; nz ris z partendo dall’ipotesi (assurda) che non siano entrambi pari, si scopre che sono entrambi pari.

Insiemi

Insiemi Un insieme è una collezione di elementi si elencano tutti (enumerazione) D si specifica una caratteristica in comune D CSEA un insieme A è un sottoinsieme di S se i suoi elementi sono anche elementi di S sonoinsions se tutti gli elementi di A sono anche s SaAsatanaceacpcarana elementi di S ed esiste almeno un elemento di S che non è elemento di A, Allora A si dice sottoinsieme proprio.

Tra i sottoinsiemi di un insieme c’è sempre il vuoto e sè stesso.

n. di elementi di un insieme Cardinalità Singleton —> 1 elemento. >=insieme delle parti n. dei sottoinsiemi5OEsempio S .=Ş123} 5.4 sottoinsiemi: se stesso, vuoto insieme delle parti di S o simboloz {3}:{ singleton{o z}; 3}} 3;3} {{{ 3) insiemi con 2 elementiz;1,o ; Isln3:cardinalitah sepcardinalità 101s11-2"2":insiemidegliparti.

Operazioni con gli insiemi

Operazioni con gli insiemi Unione U Siano A e B due sottoinsiemi di S o SIES IEBSA U B = oppure:IEA334,

Esempio A 8,3,-1, 42,s oBs 4,73 Gli elementi si prendono9.3-2,0. una volta322,01,0, 8.115AUB s 4,2. 8,4, B Graficamente: A.

Intersezione ^o Siano A e B due sottoinsiemi di S SIESIEBSARB:IEA3 Esempio: 31,-1,A 2,0,7, 44 A- BBs ygraficamente3-3,0.9,4,73s 1,75ANB 3 non ci sono elementi Se A B = A e B si dicono DISGIUNTI ß in comune.

Esempio: i numeri pari e i numeri dispari i numeri positivi e i numeri negativi.

Complemento Siano A e B due sottoinsiemi di S @0 SESEACXEB(sottrazione) A-B: }complemento di B rispetto ad A E 1 Esempio: As 2,8,7,49,-1, BAs338 GraficamenteBs 42a 1.20,}}AB 5 01,2,0, 4912,0,4.}BJ -A:A-B non coincide con B-A, quindi la di!erenza non commuta (a di!erenza di unione e intersezione) Byì il complemento di A fispelto QBIT *ENOTA Se A=S allora S-B=B BT- CA)IÈ detto COMPLEMENTARE DI B I8 .e tutto cio che non appartiene a B rispetto ad Sz Il complemento di B è più piccolo di quello di A fEBç <

Esercizio verificare che se A B allora B AE? ,dimostra che il complementare di B è contenuto nel complemento di A AGB -OBçÅ IEB e dunque non appartiene ad A, perchè A è in B SO44BIO4CA.34EAC quindi il complementare di B è contenuto nel complementare di A.

Prodotto cartesiano

Prodotto cartesiano BxB Siano A e B due sottoinsiemi di S D ŞCøiyJsxfAeyEBsAXB={ è costituito da tutte a le coppie che hanno la 1ª Nota: non è commutativo componente in A e la 2ª in B83.

Esempio 51,2,AsBsŞDJ C },-13 CIOJCZDOJOHAIBS QLKORJODJGSIOKCe] 7+C1sosEssobirà COMREWTABILE.

Nota: la cardinalità del prodotto cartesiano è il prodotto delle cardinalità BA AIB- SMORsmB M perchè per costituire una coppia ci sono m scelte sulla 1ª e n sulla 2ª.

Nota: se A=B, un sottoinsieme di AxA si chiama Relazione binaria Bpsi indica con una relazione binaria in R si chiama relazione di equivalenza ed ha la seguenti proprietà.

• Riflessiva: per ogni acA si ha (a,a)c Ro - -
• Simmetrica: (a,b)cR implicao (b,a)cR- O
• Transitiva se (a,b)cR e (b,c)cR allora (a,c)cRo T j-

Esempio: JEBI4,2nA aa5 1CK23C3BJER CBs CZBER82 La 84231, ,b3EB3. lo,e36B3 1.2JEB49B 35A . C1,231J/2,C3C2,23C20)3.1K3.23C3,3)DK6KB-do,cJEB.

Intervallo numerico

Intervallo numerico Siano a e b due numeri reali con a<b xE R} Intervallo chiuso estremi a e b asest inclusi6a,o ExEB Intervallo aperto estremi a e b ab asbo esclusi:axxab}) 3Sab Intervallo semiaperto a destra6:ccR a.- ses) ExER 56}a Intervallo semiaperto a sinistra: asx.,03 fS 7, astrarmo20 i a s t ze r n Lba Centro intervallo Ampiezza intervallo a-lota (punto medio) Z8. 6-0 Semiampiezza intervallo Raggio s2 47QsL S.GEsempio: intervallo [1,9) amt :0 AMPRZES }õ-an !somiambigzza 51Qa2 9los5940 CentrO5IB.

Intervalli illimitati 22Cata {7 R é chiuso quando gli intervallo aperto illimitato:). estremi sonoa3 inclusi, è aperto. quando gli estremi B xR intervallo chiuso illimitato non sono inclusisto IEa :4za, superiormente di estremo inferiore a--0,6) intervallo aperto illimitato EIER:e<bs- intervallo chiuso illimitato-o,6) EIER:436s inferiormente di estremo superiore bsEIER acxaCa :4 intervallo vuoto,a) }- sEas intervallo degenereajo EIER:QSIa}

Massimo e minimo

minimoeMassimo Sia A un insieme di numeri reali Ş McAM è massimo di A @ vaon(M= max A) aM>m è minimo di A vaçnP mcAm= min A m<a Lab Esempi Labbo bo. a Da ]), , aau no min minno-min -minRoto maut tosmmoxmomax-miars .'

PROPOSIZIONE Un insieme A è limitato se e solo se esiste un numero positivo M tale che=a MsasHtaeA AdimaxilèquelloalloraA,csupAse - AdiminmioèquelloalloraA,cAinfse - ..

Maggiorante e minorante

Maggiorante Un numero L è un maggiorante per un insieme A estremigli Nota: Se L>a FaEA maggiorantisonominorantie.

Minorante Un numero l è un minorante per un insieme A se L<a Xaz? { }MFIEBEsempio: 13 sono maggiorante tutti i numeri >2; zş. :nuume sono minoranti tutti i numeri< 1mos zER, x5u31sC12)L’insieme A=N non è limitato superiormente -> non ha maggioranti m= {xcR x<1}-ae non è limitato nè superiormente nè inferiormente L’insieme A=Z -> non ha maggiorante nè minorantisuperiore.

Estremo esiste sempre, e se c ad A è il massimo- Sia A un insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente Diciamo che McR è l’estremo superiore di A se M è il minimo dei maggioranti- - Estremo inferiore esiste sempre e se c A si dice anche minimo~ Sia A un insieme di numeri reali non vuoto e limitato inferiormente Diciamo che mcR è l’estremo inferiore di A se m è il massimo dei minoranti.

A-ainoramixi moaeoloraNti SUPA Esemmpio pinapicadlo moggionanti- aei=Mr bie. I mswrssozen I inQ 8= msie pici minoscantigrovaaO d e iyO [-CAsholsce ) Esampio As c 43 b,2.3) , FiBPAIBLAs AMax minSUPAS AshA SuP-- .-14.

Osservazione 1: se A non è limitato inferiormente allora inf a = - 8 Lo l’insieme non ammette minoranti. Se A non è limitato superiormente allora supA= + o l’insieme non ammettej maggioranti e non ha il massimo.

Osservazione 2 ibsie :xsR-IR iLuu muwwii sI 3D9inf & LLSUPsim qCCSwP-G} 39Ce] ) ine -wboro supmins armos 55ciJED IEI mora.

Nelle funzioni sono questa funzione definiti dal invade tutto il piano codominio NO MaX no MINiig-xz CoxaRss )indfsminlsotaSupf- AAltwo suplimt minuimaxesempi com -Ş1MEM1ş03}A Iqtost B. .5-EMMEIN-ŞO5:)SUBAsmOIA imqAsminAsoİy=b OinqA SWp As=O 1Lspoichà lapoianàFMENIĘOOAlD minozanteeon }3E 131- mmoggiozentecioe ze unFp séiempinèpiacoloAMENZIXE t O.C.30, X deiSmoggiozanty+E3Ym NEJO ,JæEAt.G -E4a2JO,AEAt.G.

Principio di induzione

induzionediPrincipio si ha una formula valida per n, bisogna dimostrare che è valida per n+1.

Supponiamo che una proposizione dipendente da un indice ncN sia enunciato vera per n=1 e che inoltre, supposta vera per n sia vera anche per n+1 allora la proposizione è vera per ogni n}base dell’induzione PCmJSe evereMEN7 E .E. Xmamosi dimostra che P(n) è vera passo induttivo pumtivera XnsnoBGmJ sovero.

Esemmpio: -Knerrafi0e2O51,44aCinEuiziome ecrescentesInlBoteriza 43 )msICperOSIRIY limdicaevere )12Izdobboicammo saewara agniptedimostraze neveracha pat parchesupponiono sie vere perrmqM22zallozapâşfioşîzfz -lâslâ quirdi niyévete orche peosomome inzeri.

Esembino mumecidei primmin m; lBotgsiMSm doldbiarmo dimostrare vale.Cht1) che pat r2s1103.?, 22 èvera Quiriahi pes ms1= 4.A IESJoCntuxil Cbxeg nau chevalepesdimostraredodierme Sppilao .ipotessi I FJtCmx+)( 5.2 tesiCn siamo azrivatiollaM +2). MH17Cm71) 2mteHt evialentaimessa inm mron.a. ahi r i xe tesiipotesisorma quaoratidi CantitelSñ smet51 s MoEmtuSp [maioe)-...,X2 73 CmaDJtR2 ? )-Camze) GGSñsmÇ8xizCamtiz GŞhxDsh2t...tAxCnzeBsSRxCntif snxChallso -Cahxi)tCmtIJCm.CZDt1thxiJ-CmoNLmInxltoCna).)lCanaanto 2lMg 5 nto-nx2))snt?biseghaglianaa bErnoWELeblPaz R i s ulta