Metodi per la risoluzione di Testi d'esame Progetto di strade

Modelli fisici

Nell'analisi del moto ed equilibrio dei veicoli (velocità di progetto, curvature e pendenze trasversali) e nell'analisi dei rapporti tra veicolo ed infrastruttura (analisi delle traiettorie) è necessario far riferimento ad alcuni principi teorici della progettazione viaria. In particolare esse traggono origine dalle seguenti discipline:

• Cinematica
• Dinamica
• Statica

Cinematica

La cinematica è la branca della meccanica che studia le caratteristiche del moto indipendentemente dalle cause che lo determinano.

Dinamica

La dinamica rappresenta la branca della meccanica che studia il moto dei corpi in relazione alle cause che lo determinano.

Statica

La statica è la branca della meccanica che studia il caso di corpi in quiete o in equilibrio.

Dobbiamo quindi valutare la specializzazione di queste teorie generali alla specifica condizione dei veicoli in movimento. In particolare, anche nel caso dei corpi in movimento che interessano l’esercizio delle infrastrutture viarie, assumiamo una drastica semplificazione che consiste nell’assimilare un veicolo (corpo complesso) ad un punto materiale e cioè un corpo di dimensioni trascurabili rispetto alle distanze che esso percorre o che intervengono nel problema in esame. Si tratta quindi di un ente astratto in cui pensiamo concentrate tutte le proprietà significative di un corpo come ad esempio la massa.

Assumiamo quindi un modello consapevoli degli elementi di incertezza che esso introduce legati ad esempio al trascurare l’effettiva distribuzione delle masse e i punti e le modalità di applicazione delle forze.

Per studiare il moto di un veicolo assimilato ad un punto materiale dobbiamo innanzitutto riuscire a definire le posizioni assunte dal punto stesso in istanti di tempo successivi, cioè la sua traiettoria. In particolare, per descrivere un luogo geometrico è necessario istituire un sistema di riferimento e la scelta dello stesso è fondamentale in quanto le caratteristiche del moto di un punto materiale sono legate in maniera essenziale al particolare sistema di riferimento stesso. Ad esempio, dalla distinzione tra sistema inerziale e sistema non inerziale deriva la presenza di alcune azioni dinamiche come la forza centrifuga.

Per descrivere la forma della traiettoria ci sono diverse possibilità per scelta di riferimento ed espressione matematica:

• In un sistema di riferimento cartesiano descriviamo il valore di ciascuna coordinata in funzione del tempo.
• Analogamente, si può far ricorso ad un vettore orientato.
• Se vogliamo prescindere dal tempo ed osservare la sola forma geometrica, possiamo eliminare dall'espressione la variabile tempo e ottenere due equazioni ciascuna rappresentativa della superficie. L'intersezione tra le due superfici rappresenta proprio la traiettoria.

Analisi cinematica

Nello studio della cinematica del moto, oltre alla descrizione della geometria della traiettoria, siamo interessati alla sua evoluzione nel tempo. In particolare, una volta descritta geometricamente una traiettoria mediante la sua rappresentazione matematica come intersezione di due superfici, fissando sulla traiettoria un'origine ed un verso positivo, possiamo istituire un sistema di ascisse curvilinee e cioè una coordinata lagrangiana che ci permetta di valutare anche l'evoluzione temporale.

Una volta descritto il moto del corpo nel tempo, i parametri cinematici più caratteristici sono:

• Velocità - La velocità è un vettore che può essere considerato in ogni istante tangente alla linea di traiettoria.
• Accelerazione - L'accelerazione è normalmente un vettore libero che può variare istante per istante in direzione, verso ed intensità. Risulta utile quindi studiare l'accelerazione separandola nelle due componenti:
  • Accelerazione tangenziale - Orientata come la velocità e cioè in direzione tangente alla traiettoria. Rappresenta quindi una componente longitudinale rispetto alla traiettoria e in generale rispetto allo sviluppo dell'infrastruttura. Essa è responsabile della variazione del modulo della velocità e nell'eventualità di un'accelerazione tangenziale nulla il moto risulta uniforme.
  • Accelerazione normale - Ortogonale a quella tangenziale e quindi normale alla tangente alla traiettoria. Essa è legata invece alla variazione della direzione del vettore velocità che tende a far orientare diversamente. Essa è responsabile quindi della forma della traiettoria perché determina variazioni di direzione del vettore velocità. Viene anche detta accelerazione centripeta perché in ogni istante è diretta verso il centro della circonferenza osculatrice e cioè della circonferenza tangente alla traiettoria nel punto considerato e caratterizzata dal medesimo valore della curvatura.

Infatti, per una generica curva del piano possiamo osservare cosa avviene all'intorno di ogni punto. In particolare, possiamo individuare la curvatura nel punto attraverso l'assimilazione di quell'intorno del punto ad un arco di circonferenza. La curvatura rappresenta proprio l'inverso del raggio di questa circonferenza detta osculatrice.

Nel caso di un tratto di linea di traiettoria con una formalizzazione matematica la cui forma è rappresentabile mediante una funzione continua e derivabile fino almeno al secondo ordine, la curvatura ha un'espressione del tipo:

$$ \kappa = (\frac{1}{R}) = \left[\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}\right] $$

Essendo il termine rispetto a $1$, possiamo approssimare l'espressione della curvatura $ \kappa $ più semplicemente con la derivata seconda:

$$ \kappa = \left[\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}\right] $$

Nel caso in cui la funzione non fosse continua e due volte derivabile, occorrerebbe assimilare ad ogni punto una circonferenza osculatrice tale che l'inverso del raggio rappresenta proprio la curvatura.

La componente normale dell'accelerazione, diretta in ogni punto verso il centro della circonferenza osculatrice, è responsabile dunque della variazione di direzione della velocità ed è collegata all'insorgenza di una forza centrifuga. Possiamo quantificarla nel caso di moto circolare uniforme come:

$$ a_n = \frac{v^2}{R} $$

Analisi dinamica

Affinché il moto si modifichi è necessario che ci siano variazioni nel vettore accelerazione. Tali variazioni sono sempre indotte da una forza che agisce sul corpo in conformità con il principio fondamentale della dinamica Newtoniana:

$$ \mathbf{F} = m \cdot \mathbf{a} $$

In particolare, possiamo distinguere tra le forze che trovano rappresentazione in un sistema di riferimento inerziale, cioè tale che in esso un corpo non sottoposto ad azioni esterne persiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, e quelle che invece non vengono descritte in tale sistema:

• Tra le forze che possiamo rappresentare in un sistema di riferimento inerziale troviamo le forze di trazione e quelle di frenatura responsabili della componente longitudinale del vettore accelerazione
• Per rappresentare delle forze che esistono nella realtà ma che non sarebbero riprodotte nel modello con un sistema di riferimento inerziale, introduciamo un artificio soltanto formale che consiste nell'introdurre queste forze che vengono in tal senso definite apparenti o fittizie. Le forze apparenti di maggiore interesse sono la forza di inerzia longitudinale che agisce istante per istante nella direzione della traiettoria e la forza centrifuga che agisce in direzione normale alla traiettoria. Da ciò derivano le espressioni:

$$ F_c = m \cdot a_c = \frac{m \cdot v^2}{R} $$

Velocità di progetto

Nella progettazione stradale associamo a ciascun elemento che definisce geometricamente il tracciato una velocità di progetto che rappresenta la velocità massima che in condizioni ideali un veicolo può mantenere in sicurezza in un certo tratto. Essa può essere ricavata in funzione di due variabili:

• Le caratteristiche tipologiche della strada definite dal codice stradale (strade di tipo A, B, C, D, E, F) tali che all'aumentare del livello gerarchico la velocità di progetto aumenta.
• Per una stessa tipologia, le condizioni di compatibilità del tracciato e cioè la geometria che il tracciato deve assumere per armonizzarsi alla morfologia del territorio. Per una data tipologia stradale, in ogni tratto a seconda delle esigenze di armonizzazione del territorio, si dovrà avere un'adeguata flessibilità della realizzazione e cioè si dovranno scegliere elementi geometrici più vincolanti (curve con raggi più stretti e pendenze accentuate) o meno vincolanti (curve di raggio ampio e rettifilo).

A tale flessibilità geometrica dovrà quindi corrispondere una flessibilità nelle velocità di progetto tale che non è sufficiente definire una velocità di progetto, ma occorre valutare un intervallo di velocità di progetto. In particolare, a seconda della classificazione stradale, associamo ad ogni tipologia un intervallo di velocità di progetto: l'estremo superiore dell'intervallo è associato agli elementi meno vincolanti, quello inferiore a quelli più vincolanti.

Esiste poi una correlazione tra velocità di progetto massima e velocità limite tale che il limite di velocità è di 10 km/h al di sotto della velocità di progetto in modo da garantire un certo margine di sicurezza.

Diagramma delle velocità

La rappresentazione grafica della variazione della velocità di progetto lungo un tronco stradale al variare dell'ascissa curvilinea è il cosiddetto diagramma delle velocità. Sulla base di tale diagramma vengono effettuate le verifiche prescritte secondo normativa. In particolare, deve essere verificata l'omogeneità del tracciato, accelerazioni e decelerazioni accettabili e variazioni di velocità tra elementi consecutivi del tracciato non pericolose.

Nei tratti di variazione tra un valore di velocità di progetto ed un altro, devo valutare che accelerazioni e decelerazioni siano compatibili con i mezzi che hanno accesso alle strade.

Dove secondo le indicazioni della norma stradale, il diagramma delle velocità si costruisce sulla base del solo andamento planimetrico calcolando per ogni elemento l'andamento della velocità di progetto che deve essere contenuta nei limiti previsti per ciascun tipo di strada.

In particolare, per ciascuna progressiva del tracciato possiamo individuare la velocità di progetto:

$$ V_p = f(x) $$

Dove abbiamo introdotta la semplificazione puramente convenzionale per cui la velocità di progetto è esclusivamente influenzata dall'andamento planimetrico del tracciato e prescinde da quello altimetrico. Nella realtà, non è così, ma teniamo conto implicitamente dell'andamento altimetrico caratterizzato da minore variabilità considerando la sola curvatura planimetrica.

Valutiamo quindi la velocità di progetto da associare a ciascun elemento:

• Rettifili: La velocità di progetto in rettifilo corrisponde alla velocità di progetto massima, cioè la velocità massima che un veicolo isolato può mantenere in sicurezza date le caratteristiche della piattaforma della strada.
• Curve a grande raggio: Anche sulle curve con un elevato valore di raggio, la velocità è influenzata solo dalle dimensioni della piattaforma stradale, pertanto su tali elementi geometrici si assegna la velocità di progetto massima.
• Clotoidi: Sulle clotoidi la curvatura progressivamente si riduce e la velocità tende quindi alla velocità di progetto massima, seppure non è detto che ci arrivi in quanto lo sviluppo della clotoide potrebbe non essere sufficiente a consentirne il raggiungimento.
• Curve di piccolo raggio: Per curve il cui raggio è piccolo, la velocità viene definita in funzione del raggio di curvatura e della pendenza trasversale della sagoma stradale sulla base del modello fisico-matematico per "equilibrio dinamico in curva", che nasce dalla necessità di imporre che le forze siano costantemente in equilibrio. Se l'equilibrio delle forze non fosse rispettato, si raggiungerebbe infatti uno stato critico del sistema che indurrebbe una perdita di sicurezza.

Equilibrio dinamico in curva

Il principio adottato tradizionalmente per l'equilibrio dinamico in curva consiste nell'assimilazione del veicolo ad una sezione piana caratterizzata da una certa pendenza q e soggetta all'azione di forze diverse. In particolare, possiamo distinguere tra forze stabilizzanti o instabilizzanti rispetto allo svio, cioè rispetto al rischio che il veicolo slitti trasversalmente:

• Forze instabilizzanti: Ad instabilizzare il veicolo è la componente della forza centrifuga parallela alla sezione della strada.
• Forze stabilizzanti: A impedire che lo slittamento si realizzi sono la componente della forza peso parallela alla superficie della strada e la componente trasversale delle forze di aderenza. L'aderenza è infatti una forza di contatto che si sviluppa nell'area di interfaccia tra superficie esterna della ruota e superficie esterna della pavimentazione stradale. Si tratta quindi di una forza che ha la stessa natura dell'attrito, ma mentre l'attrito identifica la condizione che si realizza nel caso di veicolo fermo, l'aderenza presuppone il moto relativo dei due corpi. Pertanto l'aderenza risulterà essere maggiore dell'attrito.

Per quanto detto, risulta quindi che l'aderenza agisce nel piano di contatto ma la sua direzione in questo piano è qualsiasi. Pertanto anche in questo caso occorre scomporre tale forza nelle sue due componenti fondamentali che sono l'aderenza trasversale e l'aderenza longitudinale.

Per l'equilibrio in curva siamo interessati all'aderenza trasversale e dunque definiamo il coefficiente di aderenza trasversale ft. Si tratta di un numero puro pari al rapporto adimensionale tra le forze di aderenza e l'azione N normale alla superficie esercitata al contatto tra i due corpi, ottenuta come somma delle azioni orientate in direzione ortogonale alla superficie.

L'aderenza offerta al contatto tra la ruota e la superficie stradale è estremamente variabile perché funzione di moltissimi elementi: caratteristiche del pneumatico, dimensione, usura, pressione di gonfiaggio, caratteristiche superficiali e composizione delle pavimentazioni stradali, presenze estranee quali foglie e polveri sulla superficie stradale, precipitazioni meteoriche ecc.

In particolare, proprio in relazione alla quantità d'acqua valuteremo la presenza di un velo d'acqua come una condizione ordinaria in modo da valutare l'aderenza offerta in una condizione più critica e quindi con un margine di sicurezza più elevato (con uno spessore del velo idrico fino a 0,5 mm tali valutazioni sono ancora valide).

Nella condizione di equilibrio tra forze stabilizzanti e forze instabilizzanti otteniamo quindi:

$$ f_t \cdot \cos(\alpha) = f_c \cdot \sin(\alpha) + f_s \cdot \sin(\alpha) + N \cdot \cos(\alpha) $$

Semplificando otteniamo:

$$ v^2 = 127 \cdot (ft \cdot \tan(\alpha) + q) $$

Moltiplichiamo per 3,6 per passare da m/s a km/h:

$$ v = 3,6 \sqrt{g \cdot R \cdot (ft \cdot \tan(\alpha) + q)} $$

L'equazione analitica finale ottenuta vale quindi:

$$ v = 127 \sqrt{(ft \cdot \tan(\alpha) + q)} $$