Esercizi Metodi

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Esercizio 4

Si consideri la seguente funzione di due variabili reali f(x, y) = x⁴ + xy + (1 + y)².

• Ricordando che, condizione necessaria perché il punto P = (x̄, ȳ) sia un punto di estremo relativo per f è che P sia soluzione del seguente sistema di equazioni f_x(x, y) = 0 f_y(x, y) = 0 stabilire se f(x, y) può ammettere estremi relativi e, in caso di risposta affermativa, separarli opportunamente.
• Ricordando che P è un punto di minimo se, oltre a verificare la condizione necessaria sopra riportata, accade che il determinante della matrice Hessiana valutato in P risulta maggiore di 0, stabilire se il metodo di Newton-Raphson ad una dimensione è adatto a dare una stima dell'ascissa del punto di minimo della funzione f(x, y). (Suggerimento: applicare il metodo di sostituzione per ridurre il sistema di due equazioni ad un'equazione dipendente dalla sola variabile x.)
• In caso di risposta affermativa: caratterizzare la convergenza del procedimento iterativo associato, con particolare riferimento alla scelta del punto iniziale, all'ordine di convergenza e alla monotonia della successione generata; stabilire se e in che modo è possibile dare una maggiorazione del numero di iterazioni necessarie per dare una stima di x con almeno 10 decimali esatti (Suggerimento: ricordare che il metodo di Newton-Raphson è un particolare metodo del punto unito).

Devo risolvere

1. Devo risolvere

Si ha:

9x³ + y_s = 0

x + 2(1+y_s) = 0

{y_s = -4x³

y_s = -x/2 - 1

Estremo relativo

Estremo relativo

Per capire se è p.to di minimo relativo, dell' determinante della matrice Hessiana Hf = | -> Det Hf = 24x² - 1 Siccome le radice ricade è l'estremo p.to di minimo.

2. Si ha così ha Dunque: f(x) = 8x³ - x - 2

Verifica le ipotesi di Newton:

• A)
• B)
• C)

3. Siccome x₀, lo scelgo con l’estremo di Fourier

Deve esiste N > log_k b-a

Esercizio 5

Esercizio 5

Un sistema composto da 4 molle soggetto ad una forza F generata da un corpo di massa pari a 2000Kg, all’equilibrio, soddisfa il seguente sistema di equazioni lineari

_k2(_x2 − _x1) = _k1x1

_k3(_x3 − _x2) = _k2(_x2 − _x1)

_k4(_x4 − _x3) = _k3(_x3 − _x2)

F = _k4(_x4−_x3)

Sapendo che _k1 = 150N/m, _k2 = 50N/m, _k3 = 75N/m, _k4 = 225N/m, determinare gli allungamenti _x1, _x2, _x3, _x4 usando almeno due diversi procedimenti numerici. Motivare le scelte dei metodi e discutere i risultati ottenuti.

Matrice dei coefficienti

Scrivo la matrice dei coefficienti:

A = (     _k1 + _k2     -_k2        0           0    -_k2    k2 + _k3    -_k3        0       0      -_k3    k3 + _k4    -_k4       0                      -_k4    k4)

Decompongo AL = (     0                       0                       0    -_k2                   0   &nbs