Esercizi Metodi

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Autovalutazione 2

Esercizio 4

Esercizio 4

Si consideri la seguente funzione di due variabili reali f(x, y) = x⁴ + xy + (1 + y)².

Ricordando che, condizione necessaria perché il punto P = (x̄, ȳ) sia un punto di estremo relativo per f è che P sia soluzione del seguente sistema di equazioni:

• f_x(x, y) = 0
• f_y(x, y) = 0

Stabilire se f(x, y) può ammettere estremi relativi e, in caso di risposta affermativa, separarli opportunamente.

Ricordando che P è un punto di minimo se, oltre a verificare la condizione necessaria sopra riportata, accade che il determinante della matrice Hessiana valutato in P risulta maggiore di 0, stabilire se il metodo di Newton-Raphson ad una dimensione è adatto a dare una stima dell’ascissa del punto di minimo della funzione f(x, y). (Suggerimento: applicare il metodo di sostituzione per ridurre il sistema di due equazioni ad un’equazione dipendente dalla sola variabile x.)

In caso di risposta affermativa:

• Caratterizzare la convergenza del procedimento iterativo associato, con particolare riferimento alla scelta del punto iniziale, all’ordine di convergenza e alla monotonia della successione generata.
• Stabilire se e in che modo è possibile dare una maggiorazione del numero di iterazioni necessarie per dare una stima di x̄ con almeno 10 decimali esatti (Suggerimento: ricordare che il metodo di Newton-Raphson è un particolare metodo del punto unito).

1. Devo risolvere

Il sistema che dà le ifx = 4x³ + y0 = 0x + 2(1 + y0) = 0y0 = -4x³y0 = -x / 2 - 1

Estremo relativo

Per capire se è p.to di minimo relativo, va studiato il segno del determinante della matrice Hessiana. Hf = _{∂²f ∂²f} → _{∂x1² ∂x1∂x2} ( 12x² 1 ) _{∂x2∂x1 ∂²f} → _∂x2² ( 1 2 ) → Det Hf = 24x²-1 → 24x²-1 > 0 → ( sto cercando per il minimo ) { x 24 } Siccome la radice ti cade (Si vede anche v.i; v.2, memete) in un intervallo per cui: x > 1 / √₂₄ è l’estremo e p.to di minimo

2. Si ha

-4x³ = -x / √₁ -8x³= -x-2 8x³-x-2 = 0

Dunque: f(x) = 8x³-x-2

→ Verifico le ipotesi di Newton-Raphson:

• Ǝ [ξ] ∈ ℝ: f(ξ) = 0 ( b∆∆t2 vede il grafico)
• f ∈ C₂(ℝ)
• f’ ≠ 0 ∀ x ∈ ℝ → 12x²-1 ≠ 0 → { x ≠ 1 / √₂₄ } { x ≠ -1 / √₂₄ }

Torna, perché la radice esiste per le x > 1 / √₂₄

3. Siccome x₀

Lo scelgo con l’estremo di Fourier: r = 2

Deve esistere N > log_k( (b-a) / (1-k) ) k = max_x∈I |f’(x)|

Esercizio 5

Esercizio 5

Un sistema composto da 4 molle soggetto ad una forza F generata da un corpo di massa pari a 2000Kg, all'equilibrio, soddisfa il seguente sistema di equazioni lineari:

• k₂(x₂ - x₁) = k₁x₁
• k₃(x₃ - x₂) = k₂(x₂ - x₁)
• k₄(x₄ - x₃) = k₃(x₃ - x₂)
• F = k₄(x₄ - x₃)

Sapendo che k₁ = 150N/m, k₂ = 50N/m, k₃ = 75N/m, k₄ = 225N/m, determinare gli allungamenti x₁, x₂, x₃, x₄ usando almeno due diversi procedimenti numerici. Motivare le scelte dei metodi e discutere i risultati ottenuti.

Scrivo la matrice dei coefficienti:

(Sistema Lineare)

A = ( ( k₁ + k₂     -k₂      0      0 ) (     -k₂     k₂ + k₃   -k₃      0 ) (        0       -k₃    k₄ + k₃   -k₄ ) (        0             -k₄     k₄ ) )

Decompongo A

L = ( (    0           0