Metodi decisionali

Lezione 2: Situazioni incerte e probabilità

Nelle situazioni incerte (o esperimenti casuali) non si conosce a priori l’esito. Esempi:

• Lancio di una moneta non truccata. Non sappiamo a priori se l’esito sarà Testa (T) o Croce (C), ma sicuramente il risultato sarà un elemento dell’insieme {T, C}.
• Lancio di un dado non truccato. A priori non si sa se uscirà 1 2 3 4 5 6 ma sicuramente il risultato sarà {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Lancio per due volte una moneta non truccata.

Lezione 2

08/10/2024

Situazioni incerte e probabilità

Nelle situazioni incerte (o esperimenti casuali o processi casuali) non si conosce a priori l’esito. Esempi:

• Lancio di una moneta non truccata. Non sappiamo a priori se l’esito sarà Testa (T) o Croce (C), ma sicuramente il risultato sarà un elemento dell’insieme {T, C}.
• Lancio di un dado non truccato. A priori non si sa se uscirà 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 ma sicuramente il risultato sarà {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Lancio per due volte una moneta non truccata.

Il risultato sarà uno tra {TT, TC, CC, CT}

4) La produzione di un tipo di oggetti è un esperimento casuale con esito

Spazio dei campioni ed eventi

L'insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale si chiama spazio dei campioni e si indica con la lettera S. Un elemento di S si chiama punto campione.

Un insieme che ha un (solo) punto campione è un evento elementare. Per un esperimento casuale esiste più di uno spazio campione, ma di solito si prende quello con più punti campione.

Gli eventi elementari di uno spazio dei campioni sono mutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi.

La probabilità di un evento elementare è un numero compreso tra 0 e 1 che quantifica la possibilità di osservare tale evento elementare come esito dell'esperimento casuale.

Approcci al calcolo delle probabilità

• L'approccio classico: si applica quando gli eventi elementari sono equiprobabili e, quindi, la probabilità di ognuno è ¹/_|S|. Tale approccio non si può applicare a eventi che non sono equiprobabili.
• L'approccio frequentistico: determina le probabilità di un evento elementare come h/n, dove h è il numero di volte in cui si osserva l'evento elementare e n è il numero di prove dell'esperimento casuale. Questa probabilità è usualmente sbagliata e richiede un numero elevatissimo di prove.
• L'approccio corretto alle probabilità è quello assiomatico (Kolmogorov, 1933). Questi assiomi si basano sulla definizione di evento (non necessariamente elementare).

Si definisce evento un insieme di eventi "elementari" (in alternativa, possiamo dire che un evento è un sottoinsieme di S).

Esempio: nell'estrazione di una carta da un mazzo, l'evento 3, è l'unione degli eventi elementari {3 cuori, 3 picche, 3 fiori, 3 quadri}.

Poiché S ha se stesso per sottoinsieme, anche S è un evento, detto evento certo.

Poiché l'insieme ∅ è un sottoinsieme di S, ∅ è un evento detto evento impossibile.

Gli eventi si indicano con la lettera maiuscola, sono insiemi, quindi possiamo usare gli operatori di unione, intersezione, complementare e differenza per definire nuovi eventi.

Le probabilità devono essere sempre intese come probabilità di eventi.

Richiamo sugli insiemi

Dati 2 eventi A e B, si dice unione di A e B (A ∪ B, A or B) l'insieme C costituito dai punti di A o B o entrambi.

Dati due eventi A e B, si dice intersezione di A e B (A ∩ B, A and B) l'insieme C ottenuto dai soli punti di A e di B.

A ∩ B

A ∩ B = ∅

A ∩ B = B

Se A ∩ B = ∅, A e B sono mutuamente esclusivi.

In generale, n eventi A₁ ... A_n si dicono mutuamente esclusivi se ogni coppia di eventi è mutuamente esclusiva. Cioè se A_i ∩ A_j = ∅ ∀ i, j con i ≠ j.

Dato un evento A, l'insieme dei risultati non inclusi in A è il complementare di A e si indica con A'.

Nota: A∪A'=S, A∩A'=∅

Leggi di "De Morgan": (A∩B)'=A'∪B'

(A∪B)'=(A'∩B')

Dati due eventi: A e B, l'evento A-B è l'insieme "A ma non B" ed è costituito rimuovendo da A gli elementi di B.

Esercizio sulla moneta

Esercizio. Nel lancio per due volte di una moneta non truccata sia A l'evento "almeno 1 volte testa", B l'evento "il risultato del 2^o lancio è croce".

A ∪ B, A ∩ B, A', A - B

A = {TC, CT, TT} B = {TC, CC} S = {TT, CT, TC, CC}

A ∪ B = {TC, CT, TT, CC} = S

A ∩ B = {TC}

A' = S - A = {CC}

A - B = {CT, TT}

Approccio assiomatico alle probabilità di un evento

Questo approccio si basa su 3 assiomi:

• P(A) ≥ 0, ∀ A ∈ ξ
• P(S) = 1, S ∈ ξ

3) Dati 2 eventi mutuamente esclusivi A₁ e A₂

P(A₁ ∪ A₂) = P(A₁) + P(A₂)

Il 3° assioma si estende al caso di 3 o più eventi mutuamente esclusivi. Ad esempio, se A, B e C sono mutuamente esclusivi, P(A ∪ B ∪ C) = P([A ∪ B] ∪ C) = P(D ∪ C) = P(D) + P(C) = P(A) + P(B) + P(C)

Nell'approccio classico si hanno m eventi elementari (mutuamente esclusivi ed equiprobabili) A₁, A₂, ... A_m.

Quindi A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_m = S. P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_m) = P(A₁) + P(A₂) ... + P(A_m) = P(S) = 1 per il 1° assioma P(A_i) = ¹/_m, i = 1 ... m

Se A è formato da h di questi m eventi semplici ed equiprobabili, P(A) = P(A₁ ∪ A₂ ... 1A_h) = ^h⁄_m

Se A₁ ... A_m sono elementari ma non equiprobabili, si ha anche che P(A') = P(A₁) + P(A₂) ... P(A_h+1) ma non si può dimostrare che P(A) = h/m.

Alcune proprietà sulle probabilità

P(A-B) = P(A) - P(B) B ⊆ A

A = B ∪ [A-B] => P(B) + P(A-B)

P(A) = P(B) + P(A - B)

P(A - B) = P(A) - P(B)

Esempio A = {picche, cuori} B = {picche}, A - B = {cuori}

P(A^') = 1 - P(A)

Poiché A ∪ A^' = S e A ∩ A^' = ∅,

P(A ∪ A^') = P(S) = 1 per il 2^o assioma

P(A) + P(A^') => 1 = P(A) + P(A^') => P(A^') = 1 - P(A)

P(∅) = 0. Poiché S = S ∪ ∅, per il 3^o assioma

P(S) = P(S ∪ ∅) = P(S) + P(∅) => P(S) = P(S) + P(∅) => 1 = 1 + P(∅)

P(∅) = 0

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Se A e B non sono mutuamente esclusivi

P(A ∪ B) = P(A ∪ [B - (A ∩ B)])

P(A) + P(B - (A ∩ B))

P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Esercizio con le carte

Esercizio: Si estrae una carta da un mazzo non truccato di 52 carte. A = "re" B = "picche"

Descriviamo gli eventi:

• (A ∩ B) re di picche
• (A ∪ B) re, picche o entrambi
• (A ∪ B') re o cuori o fiori o quadri
• (A - B) un re ma non di picche
• (A' - B') ogni picche tranne il re (guardare le figure)
• (A ∩ B) ∪ (A ∩ B') re

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = ⁴/₅₂ + ¹³/₅₂ - ¹/₅₂ = ¹⁶/₅₂

P(A ∪ B') = P(A) + P(B') - P(A ∩ B') ⁴⁄₅₂ + ³⁹⁄₅₂ - ³⁄₅₂ = ⁴⁰⁄₅₂

P(A-B) = ⁴⁄₅₂ - ¹⁄₅₂ = ³⁄₅₂

P(A'-B') = ⁴⁸⁄₅₂ - ³⁶⁄₅₂ = ¹²⁄₅₂

P(A ∩ B) ∪ P(A ∩ B') = A¹⁄₅₂ + ³⁄₅₂ = ⁴⁄₅₂

P(A^' – B^') = B^' “tutte le carte non picche”

A^' “tutte le carte non re”

Se col A^' (tutte le carte non re) togliamo gli eventi elementari di B^' (tutte le carte non picche), in comune ad A^' allora P(A^' – B^') sono tutte le carte picche ma non re

Riferimenti libro “Probability and Statistics”