Geometria 1a (parte 2)

Indipendenza lineare e basi

Il superfluoèquarto VAvevamo S T disott'inteso sufosserocheOss e locontiene ononcontro ifesempi nondettovienee y z lineareIIIIIIE Ive è allachiuso rispettonon non1 l't I cDal dipunto vista geometricoSit l'intersezione diè almenodue piani puntocon un inl'origine Zetaquindicomune descrizioneuna questa ènon rigorosasnt.GE eIYEEEf ETEEE 3ee 32 unspendiloovverosponteEf 23 nulloze vettore nonPosso trovare Sitdiun diinsieme chegeneratori contengaF T tdigeneratore Stache nonIsnt7 41,1span SdiS generatoreD stache non inSatCantarini11 ioDef VSia 72 1ksiaKE vettorialeun spevettori Vk linearmenteva diconoevi sil'unicoindipendenti se di scrivere ilmodonullo divettore U lineareloro combcomeè a coefficienti nullituttiavit TKAKU EMILEor diremo linearmentealtrimenti che vavi sonodipendentiES bI di Rvettori linearmentesono lorodipendenti Rinfatti si scrive comeovelinearecomb c'è dipendenzaunaf2 linearese consideriamoinvecef linearmenteb indipendentisono Id 51 ala7 SA C OdefinizionelaNegando linearmentesonodefinizione vettoriper a dipendenteè ilpossibile scrivere nullovettore comeloro combinazione lineare coefficientia nonnullitutti almeno nullocon coefficienteun UuV awdi tor 10du odi F OdiK I vettore linearmenteè dipendenteunse sesoloe OUOV VIXIV di Olinearmentevettore è indipendente seun enullosolo se è nonDue vettori linearmenteK 2 vi sonov2dipendenti fi artqui 0,0ore davaAssumiamo esempio Dper che OdisiaV 4 V2L elk dimultiploè v2v linearmentedueQuindi indipendentivettori sesonose multiplo dell'altroe solo unosonononIn2K generalevettori linearmentek dipendentisononnvi almenoperdavaAY vitaior o iindiceunCIK ELK Elk Elkfu viti vavi vi iQuindi linearmentevettorii sonovnvidipendenti èse cowsalmeno dise essi1soloeditolineare deglivi E Spon Vi Vi unvitiiVi Un tkspan ViSpan vi vitiivi cheètolgocowblinrimanentideiSe lolen deiva dipendentisono Spon genvi è minimalenon la DefIntroduciamo insiemeSi Base IkdiChiama un vettorialesplinearmente indipendentidigeneratoriES ffvettorea Gein Elk Ikbasecostituiscono cheordinequesto diinuna Canonica si di Ikchiama Base hannoSpaziglitutti baseNon vettoriali unacanonica di 1kvettoreinfatti scrivesiogni vettoriigenerano1KdifIn xnlinearmenteindire sonovettori indipendentia fG b Ilal tlensono indipendenti OXNella base canonica i coefficienti consdellalineare vettoredelcoincidono le entrateconES dibase D èUn'altra canonicaNonvi V2 EIII E 4verifica Proprietà2 dvettorii indicati 23 generano algheEHIl scriviamo casse www.caDidi come cowslin vettoridel 3Il I pI potevamooppure la dayapplicaredi generatorifQuindi Sportivie vavafI b 9 Esponduvuus9I sportivi e ava v3eSpon 3AD vavavispan 93allora diivivi generatorisonov3 39 è consEquivalentemente evettoreogni lin di v3V1 V21SEIal BEHY 4 TB incognitea Xptab I EB 8a IIb28 a1 aB4 8 MI abbiamoQEI CIB a ilrisoltosistema in tBaha soluzionisistemailvettore v4unaggiungendo andsianoche cindettoènonpercio vavi v3Verifico che Vinz v3 b Oa CIIBEalE 08d opo IFI 03i base disonoperciò il linearepoiché sistema è fissatisoluzionela bunicaè cperase ilb èprendiamo a sistemaoc omogeneoallora la soluzione è quella nullai vettoriPrendiamo 191,41to ainAigeneranola scrittura di di Avettorema ogni comeTub lin bdi 91,13 unaène 3191bE 9 13 0b3 ola fra vettoreilcorrispondenza coeffiebiunivocaènonPropSiano linearmenteivi indipendentivettoriNn Vvettorialein uno spazioallora luivettore Sponogni e modoscriveva si incomb linunico vettore nudoilcome non soloedi Vi NKla soluzione è unicain Ba 8Cantarini13110 V KProp Sia vettorialespazioun VlinearmenteVettorisiano vi indipendenti diinAllora qui Modo unicove scrivesi inspan inlincombcome dì Vi InDim assurdoper supponiamo unicoche non siaSia Vit Bdi BankUt tVa conan 1KBi EBiaidkDobbiamo dimostrare Ikfiche Bi ediU VB BKV OTONKA T KA KKVi BKBi Uk OrPoiché lin indipendenti iovverosonovi nn coefficienti esseredevono19 Bi 0 nullituttiOBi BKdi AKla linearecomb è unica maViceversa tuCioè se e span modovia esiste unicovi unper scrivere lin diu combcome vi Nkè che linvero indipendentivi sonovia haIn particolare il nullovettore unicoou unscrittomodo essere a coefficienti nullidi tuttivettori lin indsonoviquindi i nnMEGLIOISCRITTA Unove VispanOOV OURviPer scriverealtri di aci modiipotesi sononon lincome comb di V1 VK.ggAbbiamo baseche unavistoB ddi èVvettoriale diVi unun un spdi vettoridi Ue diinsieme un insiemegeneratorelin indfre vedi ah1K UNICIdi EanPossiamo un'applicazionedefinire biunivoca1KVIB gi94 tana u rispettoChiameremo coordinate delle vettoregBbase scriveremoalla quando necessarioe 1KEESEMPIOIn abbiamoQ di basiesempivisto 2C 111b ilB KILEY l Ib ta5re solosuccedebaselaconcanonicaceF5vaff al al1 b C 2a le ordinate sonoII unichel'ordine è l'ordineimportante cambiandolecambiano coordinate del vettoreOssSe V Clll 1kla base diè canonicaela IkfunzioneEc 1kè qui InMalipoichéIn xp diUna 1kbase VvedOss èspun insiemeunVdidiminimale generatori dalla basese elimino vettore iuncheovvero piùvettori generanoche nonrestano linhoInfatti il che èeliminatovettore indipendentessialtri dunque può danondagli e essere dialtrici modisarannoe nongenerato generazi nedimassimale lininsieme indipendentivettoriundentro V sesignifica verche qualsiasi vettoreunaggiungoelementi B l'insiemeagli della base che ottengodaè linearmentepiù vettorinon costituitoindipendenti dellaiInfatti vettori basepoiché igeneranoloro linearecansèogni vettore vesottoinsiemeOss di lininsiemeunOgni di vettoriè finda ind oppostoindipendent