Formulario parte 1 di Fondamenti di fisica sperimentale

Operazioni vettoriali

Prodotto scalare

a . b = |a| . |b| . cos θ

Prodotto vettoriale

a x b = |a| . |b| . sen θ = c

Non e commutativo

Derivate di vettori

d(a x b) / dt = da / dt x b + a x db / dt

Gradiente

dT = ∇T dl

∇ = ( ∂ / ∂x i + ∂ / ∂y j + ∂ / ∂z k )

Cinematica

Per ogni moto si puo ottenere la velocita v = dx/dt e l'accelerazione a = dv/dt, pero essendo che queste richiede del tempo seguono degli schemi riassuntivi.

Moto rettilineo uniforme

x(t) = x(t₀) + v(t - t₀)

Moto rettilineo uniformemente accelerato

v(t) = v(t₀) + a(t - t₀)

x(t) = x(t₀) + v₀(t - t₀) + 1/2 a(t - t₀)²

Moto rettilineo vario

In questo caso si ha che anche l'accelerazione sia una funzione del tempo dunque

si è costretti ad eseguire sempre integrazione

a = dv/dt    dv = a dt    dove a = f(t)    ∫_t0^v(t) dv = ∫_t0^t f(t)dt

v(t) = v₀ + F(t)    dove F(t) = ∫_t0^t f(t)dt

v(t) = dx/dt    dx = v(t)dt    ∫_x0^x(t) dx = ∫_t0^t v(t)dt

Così ottengo la legge del moto: x(t) = x₀ + ∫_t0^t v(t)dt

LEGGE ORARIA

Moto verticale

y₀

v_y(t) = v₀ - g(t - t₀)

y(t) = h₀ - v₀(t - t₀) - 1/2 g(t - t₀)²

LEGGE ORARIA

se lana verso l'alto cambia questo termine

Moto rettilineo smorzato

k: costante che dipende dal fluido attraversato dal corpo ad alta velocita.

τ: costante di tempo = 1/k

v(t) = v₀ e^{-(t - t₀)/k}

x(t) = x₀ + v₀/k (1 - e^{-(t - t₀)/k})

a = -k v(t)

LEGGE ORARIA

Moto di caduta libera in attrito viscoso

Supponiamo t₀=0 e v₀=0, in caso contrario eseguire l'integrazione per ottenere la legge del moto.

moto parabolico

Il moto parabolico non e altro che la composizione di un MRU sulle x e un MRUA sulle y,

v_x = v₀ cos q

x(t) = x₀ + v₀ cos q (t - t₀)

legge oraria asse x (MRU)

v_y = v₀ sen q - g (t - t₀)

y(t) = y₀ + v₀ sen q (t - t₀) - 1/2 g (t - t₀)²

legge oraria asse y (MRUA)

Per il calcolo della traiettoria si deve invece risolvere il sistema seguente:

x(t) = x₀ + v₀ cos q (t - t₀)

y(t) = y₀ + v₀ sen q (t - t₀) - 1/2 g (t - t₀)²

Prima si ricava t dalla prima equazione e poi si scrive la seconda in funzione di essa. La gittata si calcola invece ponendo y(t)=0 trovando i punti in cui il corpo tocca terra con i rispettivi tempi e poi si sostituiscono nella legge oraria lungo x. Per l'altezza massima invece si pone v_y=0 e trovo il tempo in cui e verificata e lo sostituisco nella legge oraria lungo y.

moto circolare uniforme

θ0 = ωt essendo d=0 θ0 => w = w0 - cost

T(periodo) = 2pi / w₀ = 2pi r / v = t / N [s]

f(frequenza) = 1 / T [Hz]

Moto circolare uniformemente accelerato

theta₀ = ar = cost != 0

a_r = -w(t)² r = -v(t)² / r

a(t) = a = radicando(a_theta² + a_r²)

w(t) = w₀ + a(t - t₀)

v(t) = r w(t)

theta(t) = theta₀ + w₀(t - t₀) + 1/2 a(t - t₀)²

s(t) = theta(t) r

LEGGE ORARIA ANGOLARE

LEGGE ORARIA RADIALE

DINAMICA

PIANO INCLINATO

F_Py = |F_p|cos theta = -mg cos theta

F_Px = |F_p|sen theta = mg sen theta

dove |F_p| = mg

Secondo Newton ad ogni azione ne corrisponde una uguale e contraria, inoltre lega la dinamica alla cinematica tramite la relazione F = ma. In questo caso:

N - mg cos theta = m a_y = 0 -> N = mg cos theta

mg sen theta = m a_x -> a_x = g sen theta

v(x) = v₀ + a_x(t - t₀)

x(t) = x₀ + v₀(t - t₀) + 1/2 a_x(t - t₀)²

L = h / sen(θ)

Se volessi trovare dei dati al termine del piano inclinato basta utilizzare x(t) = L e determinare cosi il tempo che poi posso utilizzarlo per ricavare qualsiasi dato in quell' istante.

Oltre alle forze citate sopra potrebbero presentarsi anche altri ostacoli dovuti all'attrito:

• ATTRITO STATICO     F_AS = µ_A N
• ATTRITO DINAMICO    F_AD = µ_D N
• ATTRITO VOLVOLUCE  F_AV = µ_V N

Sono tutte opposte al movimento

FORZA ELASTICA

F_e = -Kx = m a ⇒ x'' + K/m x = 0

La soluzione dell'equazione differenziale restituisce la legge oraria generalizzata

x(t) = c₁ cos((√(K/m)) t) + c₂ sen((√(K/m)) t)

Imponendo che al tempo t=0 x = x₀ avremo che scontri:

v₀ = 0

x(t) = x₀ cos((√(K/m)) t)    ponendo √(K/m) = pulsazione = ω [rad/s]    x(t) = x₀ cos(ωt)    essendo c₂ = 0

v_(t) = x' = -x₀ sen(ωt)

v₀ ≠ 0

v_(t) = x' = -x₀ sen(ωt) + c₂ ω cos(ωt) ⇒ c₂ = v₀/ω

x(t) = x₀ cos(ωt) + v₀/ω sen(ωt)

MOTO ARMONICO

Un altro modo per esprimere la legge del moto e il seguente:

Sia A = sqrt(x₀² + (v₀/w)²), v₀ != 0 => x(t) = A (c₁/A cos(wt) + c₂/A sin(wt))

x(t) = A cos(wt - a) = A sen(wt + b)

a (fase) = arctg(v₀/(w₀x₀))

PENDOLO SEMPLICE

m a_n = T - mg cos O

m a_t = -mg sin O

a_t = d²O/dt² = -g/L O

w (pulsazione) = sqrt(g/L)

O = O₀ cos(wt)

LEGGE DEL MOTO

PENDOLO CONICO

m a_N = T sen O

m a_z = T cos(O) - mg

a_N = 0 MAI!

a_N = g tan O

T = 2pi sqrt(h/g)

DINAMICA ROTAZIONALE

L = mr x v

momento angolare o quantita di moto rotazionale

M = F x r

momento di una forza

cinematica e dinamica relativa

In questo caso si osservano i fenomeni studiati fino ad ora ma da un sistema di riferimento che puo non piu essere fisso, ma anch'esso in movimento.

TEOREMA DELLE VELOCITA RELATIVE

v = v' + vo0' + w x r' => v = v' + vt

velocita assoluta s.r. fisso

velocita relativa s.r. mobile

velocita di trascinamento (vt) traslazione/rotazione s.r.

TEOREMA DELLE ACCELERAZIONI RELATIVE

a = a0 0' + a x r' + w x (w x r') + 2w x v'

accelerazione assoluta s.r. fisso

accelerazione traslazione S' rispetto S

accelerazione rotazione S' rispetto S

accelerazione di Coriolis

Dinamica relativa

Essendo a = a' + a_r segue che F = m a = m (a' + a_r) dunque:

m a' = F - m a_r m a' = F + (-m a_r)

essendo che F_r = -m a_r

F' = F + F_r

forze reali

forze apparenti / inerziali

forze percepite nel s.r. mobile

TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA O DELLE FORZE VIVE

∫_so^sf F ds = 1/2 m v_f² - 1/2 m v₀²

lavoro = W [J]

Ec = Energia cinetica (movimento) != Energia potenziale (statica) = mgh

Esistono due forze:

• Forze conservative - il lavoro che svolgono NON DIPENDE dal percorso
• Forze non conservative - il lavoro che svolgono DIPENDE dal percorso

Essendo F = - ?U avremo W = -(U(b) - U(a))

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA

E_m = Ec + Ep = costante per forze conservative

cinetica

potenziale

Meccanica

Se E_m != costante significa che sul sistema agiscono forze non conservative => DE_m = W^nc

W = W^c + W^nc = ∫_xi^xf F_conservative dx + ∫_xi^xf F_{non conservative} dx

Lavoro totale sistema

lavoro della forza elastica

E_w = U + K = 1/2 k d² + 1/2 mv²

costante molla

compressione molla

Momento

W = ∫_θi^θf u dθ

Potenza

P = ΔW/Δt = F→ · v→

Dinamica dei sistemi e urti

F = Fi + Fe

R_Fi = 0 in un corpo la risultante delle forze interne è nulla secondo il principio di azione e reazione

Urti

A seconda della tipologia di Festerna si definono due diverse situazioni:

non impulsiva: si conserva la quantità di moto

impulsiva: non si conserva la quantità di moto

p_i = m₁v_1i + m₂v_2i = m₁v_1f + m₂v_2f

Urto anelastico monodimensionale

q si conserva e k non si conserva

1) m₁ v₁ + m₂ v₂ = (m₁ + m₂) v_c

p₀ = p_f

k₁ = 1/2 m₁ v₁² + 1/2 m₂ v₂²

k₂ = 1/2 (m₁ + m₂) v_c²

Delta k = k₂ - k₁ != 0    Delta k = energia dispersa nell urto

Urto anelastico nel piano

q si conserva e k non si conserva

m₂ v₂ + m₁ v₁ = (m₁ + m₂) v_f cos theta

Urto elastico

q e k si conservano

p₀ = p_f => m₁ v_1i + m₂ v_2i = m₁ v_1f + m₂ v_2f

k₀ = k_f => 1/2 m₁ v_1i² + 1/2 m₂ v_2i² = 1/2 m₁ v_1f² + 1/2 m₂ v_2f²

Urto contro un vincolo fisso

Forza non conservativa quanita di moto => m v₀ sen theta = m v_f sen theta

y non conserva q