Formulario parte 2 Fondamenti di fisica sperimentale

Momenti angolari

Tutto l'argomento viene chiesto solo in teoria

Gravitazione

Orbite circolari

T = periodo [s] = 4pi^2R^3 / GM

Essendo R = cost => F.centripeta = F.gravitazionale => mω²R = GmM / R²

mω²R = GmM / R² => mv² / R = GmM / R² => 1/2 mv² = 1/2 GmM / R => 1/2 mv² - 1/2 GmM / R = 0 => 1/2 mv² - GmM / R = -1/2 GmM / R

E_M = 1/2 mv² - GmM / R = -1/2 GmM / R => E_M = U_eff per orbite circolari (K=0)

Se E_M = 0 trovo la velocit to di fuga: v = sqrt(2GM / R)

Conservazione del momento angolare L = mR v = cost

Termodinamica

Equazione di stato dei gas perfetti

pV = nRT

Spesso capita che in un ciclo la si usi per esprimere posizioni intermedie delle variabili contenute nella formula

[K] = [Celsius] + 273,15

[F] = [K] . 9/5 - 459,67

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

dU = dQ - dW

Calore assorbito o disperso dal sistema [J]

Lavoro eseguito o subito dal sistema, in generale dW = p dV [J]

Energia interna del sistema: dU = n c_v dT [J]

TRASFORMAZIONE ISOBARA

pressione costante

dW = p dV => W = pDV = nRDT

dQ = n c_v dT => U = n c_v DT

dQ = n c_p dT => Q = n c_p DT

Oppure: dU = dQ - dW

espansione isobare

TRASFORMAZIONE ISOCORA

volume costante

dW = p dV => W = 0

Si ha dU = dQ dunque:

dQ = dU = n c_v dT

TRASFORMAZIONE ISOTERMA

temperatura costante

dU = 0

Dunque segue che dQ = dW = p dV

Se la trasformazione e reversibile in ogni suo punto vale la legge dei gas perfetti:

dW = p dV = nRT/V dV = nRT integral da Vi a Vf di dv/V = nRT ln(Vf/Vi) = Q

Se la trasformazione fosse irreversibile:

dW = pext . dV => W = pext . DeltaV

I

II

TRASFORMAZIONE ADIABATICA

non vi sono scambi di calore

dQ = 0

Dunque dU = -dW => DeltaU = -W

DeltaU = n c_V DeltaT = -W

T₀V₀^g-1 = T₁V₁^g-1

P₀V₀^g = P₁V₁^g

T₀P₀^1-g/g = T₁P₁^1-g/g

espansione isoterma

espansione adiabatica

CALORIMETRIA

Si ha Q₁ = -Q₂ e Cm (capacita termica) = Q/DeltaT da cui C(t) = dQ/dT [J/K]

Si definisce poi il calore specifico c_s = C_m/m = dQ/dTm [J/kgK]

1 cal = 4,186 J

Dunque se il calore specifico e considerato costante Q = m c_s integral da Ti a Tf dT = m c_s DeltaT

Temperatura d'equilibrio

Anche i passaggi di stato necessitano un quantitativo di calore Q = lambda m

lambda (calore latente)

CICLI TERMODINAMICI

In un ciclo DU=0 -> Q=W

Ed il rendimento di un ciclo espresso come hU = 1 + Q/W_A (calore ceduto dal ciclo "-") (calore assorbito dal ciclo "+")

In un ciclo di Carnot il rendimento dipende solo dalla T_max (T₂) e T_min (T₁): h₂ = 1 - T₁/T₂

Nel caso di un ciclo frigorifero il coefficiente di prestazione E_f = Q_A (calore assorbito dal ciclo "+") / |W_tot|

Elettrostatica

Legge di Coulomb

Sia q la carica sorgente e Q la carica test, la forza F che la carica q provoca su Q sara data:

F = qQ/(4*pi*epsilon₀r²) u_r in direzione radiale,

[(C)] [(m)]

e la costante dielettrica del vuoto = 8,85 * 10^-12 [C²/(N m²)]

Questa forza puo essere scomposta sugli assi utilizzando le relazioni di seno e coseno

Campo elettrico

L'influenza di una carica q nello spazio circostante e chiamata campo elettrico e si definisce cosi:

E = q/(4*pi*epsilon₀r²) u_r [N/C] = [V/m]

Cariche discrete

Se si tratta di cariche distribuite in modo discreto:

E_tot = 1/(4*pi*epsilon₀) Sum_j=1ⁿ q_j/r_j² n̂

mentre F_tot = Q/(4*pi*epsilon₀) Sum_j=1ⁿ q_j/r_j² n̂ -> F_tot = QE_tot -> F = qE

Cariche continue

FILO

lambda = densita lineare = q/L [C/m] dividendo il filo in segmenti di lunghezza infinitesima con carica dq = lambda dx

dunque il campo elettrico dE = dQ/(4 pi eps0 r²)

nel caso si tratti di un filo: |E| = lambda/(4 pi eps0) integral da d a d+L dx/x² poi si deve studiare la direzione di tale campo

Tendenzialmente per risolvere questi integrali conviene portare tutto in funzione degli angoli e integrare in d? piuttosto che in dx e lo si fa esprimendo le variabili in funzione di angoli e costanti.

SUPERFICIE

dQ = sigma dA => dE = sigma dA/(4 pi eps0 r²) area => E = integral su S di sigma A dv/(4 pi eps0 lambda²) cos theta perche sulle y si annulla risolvendo => E = sigma/(2 eps0) u_k

VOLUMI

dQ = rho dV => E = 1/(4 pi eps0) integral su V di rho/r² dx

LEGGE DI GAUSS

phi(E) = integral su S di E . n_n = q/eps0 => E integral su S dA = q/eps0

Se si trattasse di una circonferenza ad esempio:

E integral da 0 a r 2pi r = q/eps0 => E 4 pi r² = q/eps0 => E = q/(4 pi eps0 r²) e ritroviamo l'espressione precedente

Costruendo le superfici grossiane e risolvendo l'integrale di linea si trova il campo:

LINEE

E integral su L dx = lambda L/eps0

SUPERFICI

E integral su S dA = sigma A/eps0

VOLUMI

E integral su V dV = rho V/eps0

DIVERGENZA

Con la divergenza (V) di V si intende: div V = del V/dx + del V/dy + del V/dz

integral su V dV = integral su S d?o

Con la divergenza (V) di E si intende: div E = dE/dx + dE/dy + dE/dz

∫_V div E dV = ∮_S E dS = Q/epsilon₀

Circuitazione

Dato l'operatore rotore rot E esso in qualsiasi campo elettrostatico e uguale a zero:

∮_S (rot E)dl = 0 = ∮ E dl

Potenziale

Sia E = q/(4pi epsilon₀ r²) ed E = - grad V ⇔ dV = -E dr per le cariche puntiformi.

Dunque ∫_V(inf)^V(r) dV = -∫_inf^r E dr ⇒ V(r) - V(inf) = - q/(4pi epsilon₀) ∫_inf^r dr/r² ⇒ V(r) = q/(4pi epsilon₀ r)

Questo vale se si volesse trovare il valore di potenziale a distanza r da q.

Se vi fosse piu di una carica Vtot = 1/(4pi epsilon₀) Σ_i=1ⁿ q_i/r_i

Lavoro della forza elettrostatica

W_A→B = ∫_A^B F ds = q∫_A^B E ds = Q [V(a) - V(b)]

Energia da un sistema di cariche

W = -ΔU. Se le cariche in gioco sono q₁ e q₂ allora U = q₁q₂/(4pi epsilon₀ r₁₂) → se r = inf → U = 0

In un sistema di cariche Wtot e la somma dei singoli lavori e Utot la somma delle energie considerando tutte le interazioni fra le cariche del sistema.

Se si considera una carica singolarmente si puo definire U_el(p) = QV(p) mentre in un sistema di cariche Ue = epsilon₀/2 ∫ E² dt

NB F = grad Ue

Moto di particelle in un campo elettrostatico

Potenzioamo il passaggio di una particella nel seguente schema:

F = ma ed in questo caso Fe = qE considerando la particella un elettrone (q = -e):

Fe1 = -e(-E) = eE

Fe2 = -e(-E) = eE

A questo punto si mette in relazione con Newton per ottenere a = eE/m e ottenere tutto cio che si desidera.

NB Con la forza elettrostatica vale il principio di conservazione dell'energia NB

Materiali conduttori

Nei materiali conduttori il campo al loro interno e zero e tutta la carica in eccesso risiede sulla superficie.

Si definisce la capacita come: C = Q/Delta V [farad]

Condensatori

Essi non sono altro che componenti elettronici con la funzione di immagazzinare energia e sono realizzati in materiali conduttori. Sostanzialmente in qualsiasi caso si procede come di seguito:

1. Analizzo lo schema e individuo le aree da studiare.
2. Calcolo il campo con Gauss: E dA = q/epsilon₀ varia a seconda della superficie considerata [E = 0 all'interno]
3. Determino il potenziale come: dV = -grad E -> int_v(arr)^v(r) dV = - int_oo^r E dr [V cost all'interno delle zone con E = 0]
4. Calcolo la capacita: C = Q/Delta V
5. Infine determino l'energia elettrostatica

Ve = epsilon₀/2 int E² dt

Ue = 1/2 Q²/C = 1/2 C DeltaV²

Collegamento di condensatori

Serie

Q = uguale    C = Ceq = C₁C₂/(C₁+C₂)   =>   DeltaVtot = Q/Ceq

Parallelo

Q = Q₁ + Q₂    DeltaV = uguale   =>   Ceq = C₁ + C₂

Dipolo elettrico

V(r,theta) = p cos(theta)/(4 pi epsilon₀ r²)

dove:

• r: distanza tra dipolo e carica
• theta: angolo compreso tra p e r
• p = qd = momento di dipolo (distanza tra cariche del dipolo)

E(r,theta) = p/(4 pi epsilon₀ r³) (2 cos(theta) u_r + sen(theta) u_theta)

u_r = -u_z    e    u_theta = -u_y

F = -nabla U = - pE cos(theta)

Il momento meccanico M e definito come M = r x F e in una coppia di cariche

M = r₁ x F₁ + r₂ x F₂    dove F = qE.

Se si ha il momento di dipolo M e anche definito come M = p x E

Materiali dielettrici

P: polarizzazione = epsilon₀(epsilon_r - 1) E

sigma_p: densita di carica superficiale di polarizzazione = P · n

sigma_l: densita di carica superficiale conduttrice (libera) = D · n

rho_p: densita di carica volumetrica di polarizzazione = nabla P

rho_l: densita di carica volumetrica libera = nabla D

E = D/(epsilon₀ epsilon_r) = ql + qp ma nel DIELETTRICO Q = ql + qp

Corrente elettrica

i = dq/dt = rho v_d S = NqS v_d um si considera solo la componente di v_d + ad S = intensita di corrente

j = di/dS = Nq v_d => i = ∫_S j um dS    j = densita di carica

v_th = velocita termica, a T_amb = 1,57 * 10⁶ m/s mentre v_d = velocita di deriva = - eE/m tc

j = sigma E dove sigma = conduttivita = 1/rho dove rho e la resistivita => j = 1/rho E

In condizioni macroscopiche invece: i = jS = E S/rho dove E = DV/h

dunque i = S/rho h . DV ma R = resistenza = rho h/S dunque DV = RI legge di Ohm

Nel caso in cui le grandezze non siano costanti dV = -E dh = - I rho/S dh

Effetto Joule

P = I² ∫_A^B rho/S dh = RI²

Magnetostatica

Prima legge di Laplace

La prima legge di Laplace dice che dB = mu₀i/4pi * dLxur/r² da cui deriva poi l'equazione di Ampere-Laplace dove B = mu₀i/4pi ∫ dLxur/r² in cui mu₀ e la permeabilita magnetica nel vuoto e vale 1,26 * 10^-6 H/m

Seconda legge di Laplace

F = i (dl x B) da cui deriva che la forza di Lorenz = F = q v x B e il fatto che il lavoro della forza magnetica W = 0

Legge di Ampere

prende il segno e secondi di come si muove sulla curva rispetto B

Gamma(B) = integral B dl = mu0 i da cui segue che curl B = mu0 j e che div B = 0

Lavoro della forza magnetica

W = F . dl = q (v x B) v dt = 0 essendo F e v l tra loro

dunque in un circuito il lavoro e svolto solo dal generatore di tensione (es. batteria)

Momenti meccanici nei circuiti piani

M = b x F = m x B dove m = momento magnetico = i A [A m²]

Particelle immerse in campi magnetici

Se v l F descriveranno moti circolari con Fc = FL -> m v² / R = q (B x v)

Se v // F si avra un moto rettilineo uniforme lungo la direzione di v.

La loro combinazione e un moto elicoidale

Elettrostatica

Caso generale: E = 1 / (4 pi epsilon₀) integral dq / r² poi integro in dl o du

Simmetrie (Gauss): Phi(E) = integral S E dA = q / epsilon₀

E₀ =

E = -div V => V = integral E dr

Magnetostatica

caso generale: B = mu0 i / 4 pi integral dl x ur / r² faccio pv poi integro in dl o porto in dO

Simmetrie (Ampere): Gamma(B) = integral B dl = mu0 i

mu0 =

Fms = integral i (dl x B) = q (v x B) = F LORENZ (due convenzi sono verso => FATTIVE)

N = -DeltaUe = Q [V(a) - V(b)]

Ue = eo/2 integral E² dτ

F = -grad Ue = qE

M = r x F

M = m x B = iA x B = b x F

W = 0