Appunti di Analisi 1

1 Appunti di analisi I

Insiemi

DEF: un insieme è una raccolta di elementi. Si dice se x è un elemento dell’insieme I: x ∈ I. Si dice se x non è un elemento dell’insieme I: x ∉ I.

DEF: I e J sono due insiemi. J è sottoinsieme di I (se tutti gli elementi di J appartengono a I): J ⊂ I, ∀x ∈ J ⇒ x ∈ I.

DEF: si chiama insieme vuoto un insieme privo di elementi (∅).

DEF: J si dice sottoinsieme proprio di I se J ⊂ I e J ≠ I.

DEF: siano A e B due insiemi, si chiama unione l’insieme avente tutti gli elementi di A e tutti quelli di B: A ∪ B.

DEF: siano A e B due insiemi, si chiama intersezione l’insieme avente gli elementi in comune fra A e B: A ∩ B.

DEF: se A ∩ B = ∅, allora A e B si dicono disgiunti.

DEF: si chiama complementare di A rispetto a B, o A privato di B, l’insieme di tutti gli elementi di B che non appartengono ad A: B \ A.

Assiomi dei numeri reali

Assumiamo che esista un insieme numerico denotato con ℝ e due funzioni, una denotata con +: ℝ × ℝ → ℝ, +(a,b)=a+b, detta somma, e una denotata con ·: ℝ × ℝ → ℝ, ·(a,b)=a·b, detta prodotto, tali che valgono i seguenti assiomi:

• Proprietà associativa
• Proprietà commutativa
• Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto
• Esistenza degli elementi neutri
• Esistenza dell’opposto
• Esistenza del reciproco

In ℝ esiste una relazione d’ordine detta minore o uguale, ≤, che soddisfa le seguenti proprietà:

• È sempre possibile mettere in relazione tra loro due numeri
• Proprietà asimmetrica: a ≤ b, b ≤ a → a = b
• Compatibilità con la somma: a ≤ b → a + c ≤ b + c
• Compatibilità con il prodotto (con fattore ≥ 0): a ≤ b → a · c ≤ b · c
• Assioma di completezza

Assioma di completezza

Se A e B sono due insiemi separati, esiste almeno un numero detto elemento di separazione c ∈ ℝ tale che: ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ c ≤ b.

2 Appunti di analisi I

DEF: se A e B sono separati ed esiste un unico elemento di separazione, allora A e B si dicono contigui.

Conseguenze degli assiomi

• Unicità dello zero (elemento neutro della somma) e dell’unità (elemento neutro del prodotto)
• Unicità dell’opposto
• -(-a)=a
• ∀a ∈ ℝ, a · 0 = 0
• Legge di annullamento del prodotto: a · b = 0 ⇔ a = 0 oppure b = 0

Oss: in ℕ, ℤ, ℚ non valgono tutti gli assiomi.

• ℕ = {0,1,2,3...}, naturali. Posso introdurre somma, prodotto, ≤, proprietà commutativa, proprietà associativa, proprietà distributiva, elementi neutri. Non vale l’esistenza dell’opposto (tranne per 0).
• ℤ = {0,1, ...}, relativi, −1, −2, ... ℕ. Stesse proprietà di esistenza opposto. Non vale l’esistenza del reciproco (tranne per 1, −1, 0).
• ℚ = {a/b | a ∈ ℤ, b ∈ ℕ, b ≠ 0}, razionali. Stesse proprietà di esistenza del reciproco. Non vale l’assioma di completezza.

In ℚ non vale l’assioma di completezza.

TEOREMA: devo dimostrare che esistono A, B ⊂ ℚ separati per i quali non esiste un elemento di separazione.

DIM: in ℝ l’elemento di separazione c fra A e B esiste ma c ∈ ℝ, c ∉ ℚ.

A = {x ∈ ℚ | 0 ≤ x, x² ≤ 2}.

B = {x ∈ ℚ | 0 ≤ x, 2 ≤ x²}.

A e B separati: ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ b, a ≥ 0.

Th: ∃c ∈ ℝ → ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ c ≤ b.

Si dimostra che esiste un unico elemento di separazione tra A e B e c² = 2, quindi c = √2.

Supponiamo per assurdo √2 ∈ ℚ. √2 ∈ ℚ ⇒ ∃m ∈ ℤ, ∃n ∈ ℕ, n ≠ 0, tali che √2 = m/n.

Poiché posso dire che ∀a ∈ A, a ≤ √2 e ∀b ∈ B, 0 ≤ b, quindi posso assumere m ≥ 0 e n ≥ 0. Quindi a meno di semplificazioni m ed n sono primi tra loro.

m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, n ≠ 0.

Poiché √2 = m/n ⇒ 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n² ⇒ m² è pari.

Hp: supponiamo che m sia dispari. Th: m² è dispari.

m dispari ⇒ ∃k ∈ ℕ tale che m = 2k + 1 ⇒ m² = (2k + 1)² ⇒ m² = 2(2k² + 2k) + 1 ⇒ m² è dispari.

Quindi sapendo che m² è pari ⇒ ∃k ∈ ℕ tale che m² = 2k ⇒ m è pari.

3 Appunti di analisi I

m² = 2n².

Si può dire che m = 2k; m² = 4k² ⇒ 2n² è multiplo di 4 ⇒ n² è pari ⇒ n è pari.

Ci troviamo quindi nell’assurdo in cui m ed n sono entrambi pari. Questo non può accadere perché m ed n erano primi tra loro.

CONCLUSIONE: √2 ∉ ℚ.

Intervalli in ℝ

[a,b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}.

]a,b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b, a ≠ x, b ≠ x}.

[a,b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}.

]a,b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}.

]-∞,a] = {x ∈ ℝ | x ≤ a}.

[a,+∞[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x}.

]-∞,a[ = {x ∈ ℝ | x < a}.

]a,+∞[ = {x ∈ ℝ | a < x}.

DEF: sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅.

• Si dice maggiorante di A se M ∈ ℝ e ∀a ∈ A, a ≤ M.
• Si dice minorante di A se m ∈ ℝ e ∀a ∈ A, m ≤ a.

Denoteremo con Magg(A) l’insieme dei maggioranti e con Minor(A) l’insieme dei minoranti.

DEF: sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, si dice che:

• A è limitato inferiormente se esiste almeno un minorante
• A è limitato superiormente se esiste almeno un maggiorante
• A è limitato se è limitato superiormente e inferiormente
• A è illimitato se è illimitato o superiormente o inferiormente

DEF: sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, M ∈ ℝ. Si dice che M è massimo di A se:

• M ∈ A
• ∀a ∈ A, a ≤ M

DEF: sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, m ∈ ℝ. Si dice che m è minimo di A se:

• m ∈ A
• ∀a ∈ A, m ≤ a

Se un massimo (e risp. un minimo) di A esiste, allora è unico.

TEOREMA: siano M1 ed M2 due massimi di A.

DIM: M1 ∈ A e M2 ∈ A. M1 è massimo ⇒ ∀a ∈ A, a ≤ M1. M2 è massimo ⇒ ∀a ∈ A, a ≤ M2.

• Poiché M1 ∈ A e M2 è un maggiorante di A, M1 ≤ M2.
• Poiché M2 ∈ A e M1 è un maggiorante di A, M2 ≤ M1.

4 Appunti di analisi I

Possiamo concludere dicendo che M1=M2.

DEF: se M è il massimo di A si scrive M=maxA.

Se m è il minimo di A si scrive m=minA.

DEF: sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, M ∈ ℝ.

• Si dice che M è estremo superiore di A, e si scrive M=supA, se M è il minimo dell’insieme dei maggioranti di A, se quest’ultimo esiste. M = supA ⇔ ∀ε > 0 ∃a ∈ A tale che M − ε ≤ a.
• Si dice che m è estremo inferiore di A, e si scrive m=infA, se m è il massimo dell’insieme dei minoranti di A, se quest’ultimo esiste. m = infA ⇔ ∀ε > 0 ∃a ∈ A tale che a ≤ m + ε.

*TEOREMA: sia A ⊂ ℝ, A ≠ ∅. Se A è limitato superiormente allora ∃supA ∈ ℝ (rispettivamente per infA).

A limitato superiormente → Magg(A) ≠ ∅.

DIM: ∀a ∈ A, ∀b ∈ Magg(A), a ≤ b. Per l’assioma di completezza esiste un elemento di separazione c fra a e b.

• a ≤ c, cioè ∀a ∈ A, a ≤ c → c è maggiorante di A; c ∈ Magg(A).
• c ≤ b, cioè ∀b ∈ Magg(A), c ≤ b → c è minimo di Magg(A) → c = supA.

Proprietà del buon ordinamento.

*TEOREMA: ℕ ⊂ ℝ, ℕ ≠ ∅, è illimitato superiormente.

TEOREMA: supponiamo che ℕ sia limitato superiormente ⇒ ∃M = supℕ ∈ ℝ.

DIM: M è il più piccolo dei maggioranti di ℕ ma anche n+1 ∈ ℕ. ∀n ∈ ℕ, n ≤ M. ∀n ∈ ℕ, n + 1 ≤ M; ∀n ∈ ℕ, n ≤ M − 1 ⇒ M − 1 è maggiorante di ℕ ⇒ assurdo perché M − 1 < M.

Proprietà archimedea.

*TEOREMA: ∀a,b ∈ ℝ, a,b > 0, ∃n ∈ ℕ: n · a > b.

Poiché ℕ è illimitato superiormente non è maggiorante, quindi ∃n ∈ ℕ: n > b/a ⇒ n · a > b.

DIM: densità di ℚ in ℝ.

*TEOREMA: ∀a,b ∈ ℝ, a < b, ∃q ∈ ℚ: a < q < b.

5 Appunti di analisi I

DIM:

1. a < 0 < b = 0 ∈ ℚ.

2. Poiché ℕ è illimitato superiormente non è maggiorante: 0 ≤ a < b, b − a > 0, ∃n ∈ ℕ: n > 1/(b−a) ⇒ n(b−a) > 1; nb > na + 1.

Sia A = {m ∈ ℕ | na < m}. Per la proprietà del buon ordinamento esiste m=minA.

na < m ∈ A ⇒ na < m ≤ na + 1.

m − 1 ∉ A ⇒ m − 1 ≤ na ⇒ m ≤ na + 1 < nb.

Quindi na < m < nb ⇒ a < m/n < b.

3. Per il caso 2: a < b ≤ 0 ⇒ 0 ≤ −b < −a. ∃q ∈ ℚ: −b < q < −a ⇒ a < −q < b.

ℚ è denso in ℝ.

*TEOREMA: ∀a,b ∈ ℝ, a < b, ∃x ∈ ℝ\ℚ: a < x < b.

DIM: √2. Per la densità di ℚ in ℝ, a − √2 < q < b − √2; a < q + √2 < b. x = q + √2 ∈ ℝ\ℚ.

Th: √2. Per assurdo q + √2 ∈ ℚ ⇒ √2 = x − q ∈ ℚ → perché √2 ∉ ℚ.

Principio di induzione

Sia P(n) un’affermazione che dipende da n, e supponiamo che:

• ∃n₀ ∈ ℕ: P(n₀) è vera.
• Se P(n) è vera per un certo n ∈ ℕ, allora è vera anche P(n+1).

Se entrambe le ipotesi sono vere allora P(n) è vera ∀n ∈ ℕ: n > 0.

ESEMPIO: ∑_i=1ⁿ i² = 1² + 2² + 3² + ⋯ + n² = n(n+1)(2n+1)/6.

• P(1) = 1 = 1·2·3/6 = 1, P(1) è vera.

• ∑_i=1ⁿ⁺¹ i² = (n+1)(n+2)(2n+3)/6.

Ma ∑_i=1ⁿ⁺¹ i² = ∑_i=1ⁿ i² + (n+1)² = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)² = (n+1)(2n² + 7n + 6)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 ⇒ P(n+1) è vera.

Verificate entrambe le ipotesi si può dire che per il principio di induzione P(n) è vera ∀n ≥ 1.

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Funzioni

DEF: siano A e B due insiemi non vuoti. Si dice che f è funzione da A in B e si scrive f: A → B se da ogni elemento di A, f associa un unico elemento di B. Cioè: ∀x ∈ A ∃!y ∈ B: y = f(x).

DEF: se f: A → B è una funzione e A′ ⊂ A, si chiama insieme immagine di A′ tramite f il seguente insieme: f(A′) = {y ∈ B: ∃x ∈ A′: y = f(x)}.

DEF: sia f: A → B una funzione, si chiama grafico di f il seguente sottoinsieme di A × B: Γ_f = {(x,y) ∈ A × B: y = f(x)}.

DEF: siano A, B, C, D 4 insiemi. Siano f: A → B ed g: C → D funzioni, e sia f(A) ⊂ C, allora si definisce g composta f (g ∘ f): A → D, ∀x ∈ A, (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Oss: se esiste g ∘ f potrebbe non esistere f ∘ g.

DEF: sia f: A → B una funzione e A′ ⊂ A. Si chiama f ristretta ad A′ (f|A′) la seguente funzione: f|A′: A′ → B, ∀x ∈ A′, f|A′(x) = f(x).

DEF: sia f: A → B una funzione. Si chiama ridotta di f (f#) la seguente funzione: f#: A → f(A), ∀x ∈ A: f#(x) = f(x) ∈ f(A).

DEF: sia f: A → B una funzione, si dice iniettiva se: ∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂: f(x₁) ≠ f(x₂).

DEF: sia f: A → B una funzione, si dice suriettiva se: ∀y ∈ B ∃x ∈ A tale che y = f(x).

DEF: sia f: A → B una funzione si dice bigettiva se è sia iniettiva che suriettiva: ∀y ∈ B ∃!x ∈ A tale che y = f(x).

DEF: sia f: A → B una funzione bigettiva, si chiama funzione inversa di f la funzione f⁻¹: B → A dove, ∀y ∈ B, f⁻¹(y) = x, dove x è l’unico x ∈ A: f(x)=y. [x ∈ A, y ∈ B, f(x)=y ⇔ x=f⁻¹(y)].

DEF: se f: A → ℝ, A ⊂ ℝ, si dice che f è strettamente crescente se: ∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ < x₂: f(x₁) < f(x₂).

DEF: se f: A → ℝ, A ⊂ ℝ, si dice che f è crescente se: ∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ < x₂: f(x₁) ≤ f(x₂).

DEF: se f: A → ℝ, A ⊂ ℝ, si dice che f è strettamente decrescente se: ∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ < x₂: f(x₁) > f(x₂).

DEF: se f: A → ℝ, A ⊂ ℝ, si dice che f è decrescente se: ∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ < x₂: f(x₁) ≥ f(x₂).

DEF: se f: A → ℝ, A ⊂ ℝ, si dice che f è strettamente monotona se f è strettamente crescente o strettamente decrescente.

DEF: se f: A → ℝ, A ⊂ ℝ, si dice che f è monotona se f è crescente o decrescente.

DEF: sia A ⊂ ℝ simmetrico, f: A → ℝ. Si dice pari se ∀x ∈ A, f(x) = f(−x).

DEF: sia A ⊂ ℝ simmetrico, f: A → ℝ. Si dice dispari se ∀x ∈ A, −f(x) = f(−x).

7 Appunti di analisi I

DEF: f si dice periodica di periodo T se f: ℝ → ℝ, T ∈ ℝ, T ≠ 0, ∀x ∈ ℝ, f(x) = f(x + T).

Numeri complessi

ℝ² = ℝ × ℝ.

Definiamo su ℝ² la seguente somma: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d). Si vede subito che questa somma è commutativa e associativa, esiste l’elemento neutro (0,0) e l’opposto (−a, −b).

Definiamo su ℝ² il seguente prodotto: (a,b) · (c,d) = (ac−bd, ad+bc). Si può vedere che il prodotto è associativo, commutativo, distributivo, esiste l’elemento neutro ed è (1,0) ed esiste l’opposto ed è (−a, −b).