Appunti analisi matematica 1

Formula del binomio di Newton

a, b ∈ ℝ, m ∈ ℕ allora:

(a + b)^m = _m ∑ _k=0 ( m _k ) a^k b^m-k

m=2

(a + b)² = ₂ ∑ _k=0 ( 2 _k ) a^k b^2-k = ( 2 ₀ ) a² b⁰ + ( 2 ₁ ) a¹ b¹ + ( 2 ₂ ) a⁰ b² = a² + 2ab + b²

Vale per ∀n

Principio di induzione

Sia P(n) una proprietà dipendente da un indice n ∈ ℕ

• ∃ m₀ ∈ ℕ t.c. P(m₀) è vera (Base dell'induzione)
• P(m) vera ⇒ P(m+1) vera ∀m ≥ m₀ (Passo induttivo)

Allora la proprietà P(n) è vera ∀n ≥ m₀

Formula del binomio di Newton

a, b ∈ ℝ, m ∈ ℕ allora:

(a + b)^m = _k=0^m ( ^mC_k ) a^k b^m-k

m = 2

(a + b)² = _k=0² ( ²C_k ) a^k b^2-k = ( ²C₀ ) a² b⁰ + ( ²C₁ ) a¹ b¹ + ( ²C₂ ) a⁰ b² = a² + 2ab + b²

Vale per ∀ n

Principio di induzione

Sia P(n) una proprietà dipendente da un indice n ∈ ℕ

• Se ∃ m₀ ∈ ℕ t.c. P(m₀) è vera (Base dell'induzione)
• P(m) vera ⇒ P(m+1) vera ∀ m≥m₀ (Passo induttivo)

Allora la proprietà P(n) è vera ∀ n≥m₀

P(m) (a+b)^m = ∑_k=0^m ( ^mC_k ) a^k b^m-k

P(m) ∑_K=1^m K = ^m(m+1)/₂ ∀m≥1

4+2+3+...+m

m=10

∑_K=1¹⁰ K = ^10.11/₂

m=100

∑_K=1¹⁰⁰ K = ^100.101/₂

Dimostrazione principio di induzione

Base induzione

m=1

∑_K=1¹ K = ¹⁽¹⁺¹⁾/₂

1 = 1 vera

Passo induttivo

Ipotesi induttiva: ∑_K=1^m K = ^m(m+1)/₂

Tesi: ∑_K=1^m+1 K = ( ^m(m+1)/₂ ) + (m+1) = ( ^m(m+1)/₂ ) + ( ^m+1) = ^{m(m+1)+2(m+1)}/₂ = ^(m+1)(m+2)/₂

100k+1k1 100 1012 99 1013 98 101...50 51 101101 (m+1) m/2

Dimostrazione con potenze

P(m): 2^m > m ∀m∈ℕ, m≥1

Base induzione

(m=1) 2¹ > 1 vera

Passo induttivo

Ipotesi: 2^m ≥ m

Tesi: 2^m+1 ≥ 2m+1

2^m+1 = 2⋅2^m ≥ 2m≥ m+1  Ipotesi induttiva

Esempio con P(n)

P(n); m⋅n e poi   ∀m∈ℕ, m≥1

Base:   (m=1) 1² + 1 = 2 poi m² n poi

Passo:  Ipotesi (m+1)²

Tesi: (m+1)² + m+1 poi

(m² poi; m + 2= m² + m + 2 (m+1)

Disuguaglianza di Bernoulli

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

∀x > -1

∀n ∈ N

Base

Induzione m = 0

(1 + x)⁰ ≥ 1 + 0 · x

1 ≥ 1 vero

Passo induttivo

Ipotesi: (1 + x)^m ≥ 1 + mx

Tesi: (1 + x)^{m + 1} ≥ 1 + (m + 1)x

(1 + x)^{m + 1} = (1 + x)^m * (1 + x) ≥ (1 + mx)(1 + x) = (1 + mx) + x(1 + mx) == 1 + mx + x + mx² = 1 + (m + 1)x + mx²

** (1 + mx)^m (1 + x) ≥ (1 + mx)(1 + x)

(1 + x) > 0

*** 1 + (m + 1)x + mx² ≥ 1 + (m + 1)x

mx² ≥ 0

b ≥ 0, a + b ≥ a

Funzione

Detti due insiemi A, B una funzione da A in B è una legge che ad un elemento di A associa uno e uno solo elemento di B