Appunti Analisi matematica 1

I analisi matematica formulario trigonometria

Sin + cos = 1; tan = ; coth =2 sin x cos x2x x x xcos x sin xsin( = sin cos( = cos sin( = cos cos( = sin⇡ ⇡± ± ⌥x) x; x) x; x) x; x) x;2 2sin(⇡ = sin cos(⇡ = cos sin(x + 2⇡) = sin cos(x + 2⇡) = cos± ⌥ ±x) x; x) x; x; x;sin(x = sin cos cos sin cos(x = cos cos sin sin± ± ± ⌥y) x y x y; y) x y x ysin(2x) = 2 sin cos cos(2x) = cos sin = 2 cos 1=1 2 sin2 22 2x x; x x x x1+cos(2x) 1 cos(2x)cos = ; sin =22 x x2 2sin + sin = 2 sin cos ; sin sin = 2 cos sin ; cos + cos = 2 cos cos ;u+v u v u+v u v u+v u vu v u v u v2 2 2 2 2 2cos cos = 2 sin sin ;u+v u vu v 2 2sin cos = [sin(x + + sin(x cos cos = [cos(x + + cos(x12 12x y y) y)]; x y y) y)];sin sin = [cos(x + cos(x12x y y) y)] 2Posto = tan(x/2), si ha: sin = ; cos = ; tan = ;2t 1 t 2tt x x x2 2 21+t 1+t 1 tp p psin 0 = 0 cos 0 = 1 sin = ; cos = ; sin = ; cos = ;3 2 2⇡ 12 ⇡ ⇡ ⇡6 6 2 4 2 4 2psin = ; sin = ; sin = 1; cos = 0;3⇡ ⇡ 12 ⇡ ⇡3 2 3 2 2

Disuguaglianze

2per ogni 0 1 cos per ogniR; R;x|sin  |x| 2   2x| x x x2 22 2 (x+y)x +ylog(1 + per ogni 1; ; + ; + (x + )2 2 4 4 2 2 2 |xy|   x) x x > x y x y y2 2

Sviluppi di Maclaurin

2 3 n= 1 + + + + + + )x x xx n· · ·e x o(x2! 3! n!2 3 nlog(1 + = + + + ( 1) + )x x xn+1 n· · ·x) x o(x2 3 n3 5 2n+1sin = + + + ( 1) + )x x xn 2n+2· · ·x x o(x3! 5! (2n+1)!2 4 2ncos = 1 + + + ( 1) + )x x xn 2n+1· · ·x o(x2! 4! 2n!tan = + + + )13 23 5 6x x x x o(x153 5 2n+1arctan = + + + ( 1) + )x x xn 2n+2· · ·x x o(x3 5 2n+1↵(↵ 1) ↵(↵ 1)(↵ 2)) ↵(↵ 1)···(↵ n+1)(1 + = 1 + + + + + + )↵ 2 3 n n···x) ↵x x x x o(x2! 3! n!

Simboli e definizioni

1sgttoinsiena strettoMoniac yocontenutoE sottoinsieme impropriouguale( contenuto )oppure} simbolii. E Sono darepurdefinizione= unadef=Nella nell' ipotesidisequazione sedefinitevariabilile positivacomesonoallora regoleleapplicare dipossolo spostamentobase da sx aperdelle variabili diversamentedx no,1XCes . ¥ poichéchedireNon 1sposso chedetto positivaX ènon sia ,falsoE !fatto ×di -2 ase >= -Xlyes . ¥ §cheNon nèdire aposso f-che nonché¥né > nondei due numerisegniiconosco -23/09/20201 :Lezione-Teorema IRDensità dei numeri:Presi realidue numeri Xr× a,esistonoCtzdove Xp sempre, GIRI④Edue numeri yy e <,che tra tecommessi Xzsaranno e .Ù IR X Xz<Xn E conte ,, IR3- Eyn y ,, XzcdQ in eY E ,, IR X l LEYz i yC- , ,MaggiorenteDaf insiemedi :un: A IRsia IR MEsiaE see ,HX A 4 M×c- ,allora maggiorenteM didicesi ADef Minorate di insiemeun :: Rsia IRA sia eeE m se,VXEA Xma,allora minorata didicesinnADef che limitatoAdiremo: è hasuperiormente asealmeno maggiorenteunche limitatoDef A èDiremo: inferiormente haAsealmeno vantamimoun inferiormentelimitatose A è esemplicementesuperiormente diremolimitatoche A èche maggiorenteDef Diremo M di: ,AER Amassimo diè se,AME cheDef Diremo orante dimi: m -,AEIR minimoè di A seAEnnIlOss minimomassimo die un: qual esistentiinsieme sonoora, ,unici{ fine }IN -101Aes =. # (A)A 1massimo = minIEsiste il minorarne Aper ovvero, alquesto appartiene0 nonma,suddetto insieme intervallocheDef IEIRDiremo è: unse :✓ }4 IXEIR EEXE ××EI :XrX . ,. . intervalloparole IEIRIn è un sel' realideiinsieme numeri compresiqualsiasiduetra chi èInumeri ,vuole cheSisottoinsieme viun suo .densitàsia .parole il segmentoaltre cheIn punti tiXcongiunge dev'i esseree,sottoinsieme Idiun .{ }A- IR Xfotees :. intervallo perchéNon è un secol 1prendo -1 Xa× e -, }{ sottoinsiemeXrXEIR èE EX ×: non.poiché 0¥ Aintervalli soloTeorema Gli IRin: sonodelgli seguente tipoinsiemi :{[ ] }EIRb Ebas1) × ×:a. = {[[ b XEIR2) }xlb= :a. ⇐aJa b) }{3) bXEIR XE<= : a, }{4) [Ja acxcbb XEIR :=, }5) 4toolCa XEIR x >: ae, { }tool6) Ja XEIR × > a:=, }7) {] ] XEIR + Eao :a a=- , }{[8) ] XEIR ! la+ao a =- , intervalli limitati(4)Da 4) a sono limitatiintervalliDa ( (8))s sono nona tool IROss J ao e-: , intervalliOss L' èdi dueunione: intervallo generale? Inun no ,intervallidaglidipendeperò intervallo) [ 3,5L[ 8 è-2es v- non,. tool[ ] intervallo)8 è-2 -2u ,, f.funziona AEIR IRChiameremoDef →: il dominioèadove funzione f iniettivoDef Una dice: si:se farefarle✓ A ) xrx.ex. × ←,, grafico f intersecatoilSe di è nettapuntipiùin due dao unataledel alloratipo funzioney a=iniettivoènon .Def si diimmaginedice: unaf deglil'funzione insiemeIct ) TEAognimtfcxilxea }flat -fcr l'trovare)es immaginee. ^ taltoolf IoIo →:vai ,d- ,È >flirt Joè toolf IR o: -- ,pièa§§:%% a IN hafSe iniettivo )Oss è: unasoluzionesola funzionidiDef Composizione:f AEIR R (f g)f composto→: g.:B IREIRg -7 f) fin( (A G) )gof air g. eg:-: 9f > flatA IRBfg.f BSe (A) è disottoinsiemenon fesisterepuònon g..es . rit)gltIct ) xti -- tool((f toolIR in g o→:→ o: , ,fL' èdiimmagine non undelsottoinsieme didominio gesisteredi conseguenza puònon f.esisteref -però gg. mo,( figliaf. ) NTg) )Ix 1+= =f. [[ IRg ao: →+o , invertibileDef iFunzione: .f IR 1KSia A diremo-0E! invertibilefche f èè seiniettivo . ilNon considero srniettivaesseresuofunzionepoiché svniettivaogni èsulla immaginepropria fDef AEIR IRfunzione di :inversa →: invertibile definitaè come.segue :?f- gia ) A tale che→' finef- ) y>⇐( exy flx èf R:( tool )es → -o. , Cotaleilrestringo dominioSe aanche diventa invertibilefitta E' Tyfui fine^ f-×- ) ⇐ex riyxty «'f- it- n ) -. fa( tool[ si0 tao - ,, funzioneil dellagrafico fNoto delbisettricelatraccia Ie IIIsi speculareloquadrante considerasiefdi fin. a tiri÷flatf invertibileDataOss a →:: allora"f faquindi A)e : →f) "( fin )(f-iof- theaHt3- ×=-. ftp.iyf-yttyeflaf- e)( f. )b)3- =] toolè R 0o: - ,log toolJo IR-0X : ,log Cet ) IR IRo: -VVera IRteelogi tool toolIoJo -0: ,, toolJoHXVera E , f AEIRDef IR→Data : dicesi: unafche crescentemonotonaè flatfaH A X )e te ese c-x. × , .,,Ovvero lamantienesisedisuguaglianza Viceversa dicesi. X.lk#flklzfltidecrescente se ,fu monotonafin g ]-- -- - . .. crescente" si % Iacrescentef monotonaf strettamente monotonaDef è: crescente Adati C-×X.se ,, filafini>Xr )← eeX. strettamentesi monotonedirannodecrescenti se flxafa ) )s×× a .,, fanno partequeste categoriedueDi funzionile iniettivotutte elementariFunzioniassolutoValore :- Xzo× se{Ilha IN = XL× se O-In txtg--siole proprietàVediamo suef ltlelt I their1) è pari -invertibile poichéènon iniettivonon ttxe2) IN IR litio70 ⇐ Xse o-killer their(3)4) thyltyl IR191IH c-'=5) triangolareDisuguaglianza trickINIxtyl 191E t6) 1911 ttxyeir71×-91 HII -siaOss >r O: IN Et> rexr -IXIJSe TeoOreo , 9 ase > or %* ; 13l"pi il' ' ' '«' ×-ERI }{ IN er+ Nessuna soluzioneSe rco poiché Coral(Im HI ) =/IX E rsoXoOss t: con- IX.EXXvs rt tv× Xr- -- . . ]} ({ XEIRI lx-x.IE × Xotrrr - - ,.Intervallo centratoXoinXOEIR chesiaDef diremo»re: [ ] alitoè intornotrXor× un-. , .leGli intonsi di sonotorosemiretta Men(del tipo [ Mita consemirettaleGli interni di -00 sonodel ]M MEIRtipo ] -00 con,SegnoFunziona :- { >! × °se ffcx trito) }: R= a-XCse oXsgn ga fin1 > ×1- delle etàalcuneVediamo mani ,1) INX ×sgn = loUtili studio2) ogni 1 nnX = funzionidelle3) assolutocolIXI valoreesgnxIn4) ogmx=IN esponenzialeFunzione :- toolf JoIR →:^ ,àa »7- èflx ) caso1 già -ocacr. > IT' ( )Se strettamente1>a sffsSe 1 >=la c0Proprietà funzionedella :1) XEIRai ttso èflt2) ) èdiImmagine =Jo toolftp. ,invertibilef3) è .4) ai 1e- V-xn.ir""5) àrof EIRa=" ""( an V-xe.ir6) EIR) a- "" "7) V-x.pe-ok/ EIRaa =fate ties . fattisn sartefatti> ×èfa ) si ^-= èf es -In5 . > +ftp.s.zx e-Ina- xlogaritmoFunzione- :flx È cheConsideriamo Ricordo) = .invertibileci .'f- IRtoolZ ] →: 'o ,'f- logaxG) =laElenchiamo proprietà :è1) Se crescentemonotona1 è> sa .laanchedi inversaconseguenza suaÈse è1 monotonaal<0 lodecrescente conseguenzaS gli- laancheè inversasualog Ts >a ise,logo ↳ oca.cnse,2) )(Caga aitoolIo dominio di;, R=legata )3) ttx EIR×=alogà ¥ toolJo× E+= ,"f- ) )( fin ttxedomlfexfiIm )) domcf "tre(f x=4) graficoIl un' inversadi puòsi graficodirettamente dalottenereoriginaledell'graficoil atNoto 1 puòsiasdi pinquello logodi 1>aricavare x nn .vale nel diStessa 10calcasocosai adgiàèa- \era" :*.> '× ×41La0as a funzionedellaspecchia il graficoSi chela rettapartenza seguendodi quadranteilpassa #Ipur a .loqax loganlogo link )5) t= .✓ [Jote C- -00Xz ,, XD lega6) logo ×y= [¥ Io Hye RE× faro ,Xp legatilogo7) lega ×= -- ,XrVI. Jo toolEXr ,( )Oss numeroSe di marmo: atelogaritmoil ilprenderà nomenaturalelogaritmodi loglog =, IRI3l l2 l Econ e loglogfai ilH 7 t aes - --. li11 traslolaTraslo tuttavariabile funzionelaverticale ))orizzontale ((y n log "Ky -=O >• ×zdestraspostaSi di unoalogli llogx ttxsofa ) == Y yrezlogxn [ logxE-> Xcircolari )(Funzioni tgconsin- , ,"¥ :à±÷:c:p "": coordinata dalpallapuntocirconferenzafunzioniSonoIRIR →Sim : periodiche diIRi.IR -7 periodocos INEIRttx)( KEZ2kt sinxXtsin = ,XEIRV.)( XTZKIT KEZcos cost- ,Proprietà di cosenoseno elcosxlIsinxl1) E 1,sinlx ?2) 1cost × a circonferenzaallaPerché PE }punti { ftp.tdi )(3) sin sin Xcosytty Sing costae( ) SintXty singxcosycos cos -= formule✓ IR addizionediE× y, )( CosiXsinZX 2sin = formulalaPerché addizionedi :per, )( sin +ttxSim Sint1-cosi cose ×I 25in XCOSX= Ictfin da ) cosisin × =- ^ i"° TIL >µ ." " "TIL Zr¥ t X-t-- ; 1-[ ]) ) [ ]coscia( IR i.sin a 1,1