Appunti di Analisi 1

La Bibbia dimatematica5bsa

Si punta sempre alla sopravvivenza fratelli.

Aurora Fatticcioni

A.S. 2024-2025

Equazioni

Metodi di scomposizione generale per equazioni di 2 grado

1. Raccoglimento:
   • Raccoglimento totale
   • Raccoglimento parziale
2. Scomposizione tramite prodotti notevoli:
   • Differenza di quadrati: & & − + = − o
   • Quadrato di un binomio: & & &( ± ) = ± 2 + o
   • Quadrato di un trinomio: & & & &( + + ) = + + + 2 + 2 + 2o
   • Cubo di un binomio: - - & & -( ± ) = ± 3 + 3 ± o
   • Somma e differenza di cubi: - - & & ± = ( ± )( ∓ + )o
3. Scomposizione di un trinomio particolare.

& & + + = + ( + ) + Data si può risolvere tenendo conto che:

• + = = = =

4. Tramite equazione di secondo grado.

5. Teorema di Ruffini: per la divisione tra un polinomio ed un binomio di tipi x±a.

• Si riportano in riga i coefficienti di tutti i termini di P(x), in ordine decrescente di grado.
  • Se mancano termini intermedi, si inserisce come coefficiente lo zero.
• Si prende il binomio divisore x−a e si scrive a a sinistra della tabella di Ruffini.
  • I divisori devono essere tutti quelli del termine noto.
  • Esistono i divisori frazionari tali (divisori termine noto/ divisori del coeff. del max grado).
• Il primo coefficiente del polinomio si riscrive direttamente nella riga del quoziente.
• Si moltiplica il numero appena scritto per a, e il risultato si scrive sotto al coefficiente successivo.
• Si effettua la somma in colonna e il risultato si scrive nella riga del quoziente.
• Si continua a moltiplicare per a e a sommare fino a esaurire tutti i coefficienti.
• Interpretazione del risultato:
• I numeri ottenuti nella riga del quoziente rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente (di grado inferiore di uno rispetto a P(x).

L’ultimo numero a destra è il resto della divisione.

Equazioni di grado superiore al secondo

Un’equazione di grado n possiede al massimo n soluzioni (distinte o coincidenti).

1. Metodo di scomposizione

• Svolgere le operazioni, portare ai minimi termini a sinistra e ordinare il polinomio.
• Scomporre il polinomio in fattori.
• Applicare la legge dell’annullamento del prodotto.
• Si ottengono piccole operazioni risolvibili di primo o secondo grado.

2. Metodo di sostituzione &8 8+ b + = 0.

Evita Ruffini, ma è applicabile solo nei casi in cui l’equazione si presenta nella forma a8- = .

• Sostituisco.
• L’equazione si riduce ad un’equazione di secondo grado risolvibile.
• Sostituisco nuovamente a ritroso.

Equazioni con valore assoluto

Definizione di valore assoluto ( |ax+b| ): + + + ≥ 0− + + + < 0

1. Metodo con un valore assoluto

• Applicare la definizione di valore assoluto ottenendo due equazioni distinte con le loro condizioni di esistenza.
• Risolvere separatamente le due equazioni se possibili.
• Unire le soluzioni ottenute dai due sistemi.

2. Metodo con due valori assoluti

• Discutere ogni valore assoluto e formulare la tabella riassuntiva dei segni davanti agli argomenti.
• Si ottengono tante possibilità quante le colonne della tabella del segno.
• Risolvere ogni equazione con le proprie condizioni di esistenza.

Equazioni irrazionali

1. Equazioni con una sola radice pari

• Portare l’intera equazione in forma radicale.
• ≥ 0 ≥ 0. Fare le condizioni di esistenza ponendo il radicando ed il risultato della radice.
• Risolvere il sistema di disequazioni delle condizioni di esistenza.
• Elevo entrambe le parti alla seconda ed elimino la radice per ottenere un’equazione di tipo noto.
• Verificare l’accettabilità delle soluzioni con le condizioni di esistenza.

Studio di funzione

Ha come finalità tracciare il grafico di una funzione complessa.

Punti dello studio di funzione:

1. Dominio
2. Parità / disparità
3. Segno e intersezione
4. Asintoti
5. Massimi e minimi, crescenza e decrescenza
6. Flessi, concavità e convessità

Dominio

Insieme delle x associate, campo di esistenza. Insieme delle x per le quali la funzione è definita.

Le funzioni si dividono in due tipologie, ogni categoria ha i suoi tipi di “vincoli” sul dominio.

Funzioni algebriche

• Razionali intere - Dominio: reali.
• Razionali fratte - Dominio: reali - valori per il quale si annulla il denominatore.
• Irrazionali:
  • Indice pari - Dominio: valori della x per i quali il radicando è maggiore o uguale a zero.
  • Indice dispari - Dominio: reali.

Funzioni trascendenti

• Esponenziali - Base > 0 - Esponente: reali.
• Logaritmiche - Base > 0, diversa da 1 - Argomento > 0.
• Goniometriche:
  • sinx, cosx, arctgx dominio: reali ?
  • + kπ)tgx dominio: reali – valori per cui non esiste ( &
  • arcsinx, arccosx dominio: valori tra -1 e 1.

Parità/disparità

Per identificare eventuali simmetrie nella funzione.

Funzione pari: simmetrica rispetto all’asse x.

f(x) = f(-x)

Funzione dispari: simmetrica rispetto all’origine.

f(-x) = -f(x)

Una funzione può essere né pari né dispari.

Segno e intersezioni

Il segno identifica dove la funzione è positiva (y>0) o negativa (y<0).

Intersezioni con gli assi:

• Con l'asse x: da zero a infinite.
• Con l'asse y: da zero a una.

Ricerca algebrica ≥ 0f(x) segno e intersezione xf(0) intersezione asse y

Asintoti

Rette le quali il grafico della funzione si avvicina infinitamente, senza mai toccarle.

Per determinare gli asintoti è necessario tener conto degli estremi del dominio:

• Finiti.
• Infiniti.

Per ogni estremo finito (c):

Asintoto verticale

lim = non esiste asintoto

E → Glim = ∞ esiste asintoto x=c

E → G

Per ogni estremo infinito:

Asintoto orizzontale

lim = esiste asintoto y=n

E → Klim = ∞ non esiste asintoto

E → K

Se non esiste asintoto orizzontale

Asintoto obliquo y=mx+q

L(E)lim =EE → Klim − = E → K

Massimi e minimi

La ricerca dei massimi e dei minimi nello studio di funzione rappresenta una delle applicazioni del significato geometrico della derivata, ossia l’essere il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione primitiva in un punto x₀.

Il coefficiente angolare di una retta misura la sua inclinazione rispetto all’asse x.

• Se è positivo ( m>0 ), la retta sale verso destra.
• Se è negativo ( m<0 ) , la retta scende verso destra.
• Se è zero ( m=0 ), la retta è orizzontale.

Analogamente, dato un punto ( x₀, f(x₀ ) ) sulla funzione f(x) studiata, il coefficiente angolare della retta tangente è dato dalla derivata prima f ’(x₀)

• Se f’(x₀) > 0, la tangente ha inclinazione positiva → la funzione cresce.
• Se f’(x₀) < 0, la tangente ha inclinazione negativa → la funzione decresce.
• Se f’(x₀) = 0, la tangente è orizzontale → possibile massimo o minimo.

Per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza, oltre a determinare i punti di massimo o di minimo, è necessario studiare il segno della derivata prima della funzione.

Flessi

La ricerca dei punti di flesso nello studio di funzione rappresenta un’altra applicazione del significato geometrico della derivata, in particolare della derivata seconda, che fornisce informazioni sulla curvatura della funzione e sulla variazione del coefficiente angolare della retta tangente al grafico della derivata prima della funzione in un punto x₀.

La curvatura di una funzione descrive il modo in cui il grafico si piega rispetto all'asse x:

• Se la funzione è convessa, il grafico “sorride” e la tangente sta sotto la funzione.
• Se la funzione è concava, il grafico è “triste” e la tangente sta sopra la funzione.

Analogamente, dato un punto ( x₀, f(x₀ ) ) sulla funzione f(x) il comportamento della curvatura è determinato dalla derivata seconda f ’’(x₀).

• Se f ’’(x₀) > 0, la tangente della derivata prima ha inclinazione positiva → la funzione è convessa.
• Se f ’’(x₀) < 0, la tangente della derivata prima ha inclinazione negativa → la funzione è concava.
• Se f ’’(x₀) = 0, la concavità si inverte → punto di flesso.

§