Appunti Analisi matematica 1

Capitolo 0

Insieme

Insieme - dove di oggetti per cui si ha ben definita una legge di appartenenza tale da si può stabilire in maniera univoca se un certo oggetto appartiene o questa legge o no.

Insiemi ⇒ A, B, C

C ∈ A (c appartiene ad A)

c ∉ A (c non appartiene ad A)

elementi ⇒ a, b, c

Quantificatori logici

Quantificatori logici

matematico Peano

• ∃ esiste
• ∃! esiste ed è unico
• ! unico
• ⇔ implicazione se e solo se
• P ⇒ Q P ⇒ Q
• ∄ non esiste
• ⇒ alla fine di un argomento se perviene a una contraddizione, è una dimostrazione per assurdo

P: {n ∈ N : n è un numero primo}

definire un oggetto a partire dalla definizione

• ♣ t.c. tale che
• ♣ t.c. tale che

C: conclusioni di un insieme

A ⊆ B

Rappresentazione insiemi

Rappresentazione insiemi

A = {2, 3, 7, 9} enumerazione o denotazione (devono essere condizioni multiple definite = cioè il numero di oggetti)

Diagrammi Eulero Venn

Diagrammi Eulero Venn

ø proprietà caratteristica

P: {x ∈ N - x è un numero primo} proprietà caratteristica

Capitolo 0

Insieme

Insieme - insieme di oggetti per cui si ha ben definita una legge di appartenenza tale da è più stabilire in maniera univoca se un certo oggetto appartiene a questo o no.

Insiemi => A, B, C

elements: => a, b, c

A ∈ A (a appartiene ad A)

a ∉ A (a non appartiene ad A)

Quantificatori logici

Quantificatori logici

matematici Peano

• ∀: per ogni
• ∅: insieme vuoto
• ∃: esiste
• ∃!: esiste ed è unico
• ∀: per ogni
• ↔: implicazioni: se e solo se
• P ⇒ Q: P implica Q
• ∄: non esiste
• █: alla fine di un argomento se si perviene ad una contraddizione, si perviene ad una dimostrazione per assurdo

· P:M ∈ N: n è un numero primo

definire un oggetto a partire dalla definizione

· t.c.: tale che

C: conclusioni di un insieme

A ⊂ B

Rappresentazione insiemi

Rappresentazione insiemi

A = {1, 3, 7, a} enumerazioni o denotazione (devono essere tutte modalità definitive cioè il numero di oggetti è

Diagrammi Eulero Venn

Diagrammi Eulero Venn

Proprietà caratteristica

P: ∈ S ∈ N: n è un numero primo? proprietà caratteristica

Paradosso di Russell

Paradosso di Russell

A = { X : X non è un insieme t.c. X ∉ X }

A ∈ A => A ∉ A

per proprietà contraddittoria non vi appartiene

A ∉ A => A ∈ A :: ↯

Gödel

Gödel

teorema dell’incompletezza di Gödel dimostra che ogni sistema matematico contiene all’interno delle contraddizioni

Operazioni tra insiemi

Operazioni tra insiemi

• U unione A ∪ B = { c : c ∈ A e/o c ∈ B } A ∪ B = B ∪ A
• ∩ intersezione A ∩ B = { c : c ∈ A e c ∈ B } A ∩ B = B ∩ A
• A \ B differenza A \ B = { c ∈ A : c ∉ B } A \ B ≠ B \ A intersezione
• A × B prodotto A × B = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B } rispettando l’ordine.
• A × B ≠ B × A

Esempi

• A = { 1, 2, 3 }
• B = { 2, 3, 5 }
• A ∪ B = { 1, 2, 3, 5 }
• A ∩ B = { 2, 3 }
• A \ B = { 1 }
• B \ A = { 5 }

A × B = { (1, 2); (1, 3); (1, 5); (2, 2); (2, 3); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 5) }

Cardinalità

cardinalità

card (A) = n

card (B) = m

card (A x B) = m x n

A x A = A²

A x B x C = {(a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}

A x A x ... x A = Aⁿ

m volte

Insiemi numerici

Insiemi numerici

N = {0, 1, 2, 3, ... } n. naturali

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} n. interi

Q = {^p/_q , p, q ∈ Z, q ≠ 0} numeri razionali

Q = {^{p, d₀, d₁, d₂, ...}p ∈ Z, d_i ∈ {0, ..., 9}, i ∈ N} n. reali

3 = 3, 14...

↓

p, d₀, d₁, d₂

p = parte intera

parte dopo la virgola si chiama mantissa

R\Q numeri irrazionali

Struttura di campo

Struttura di campo

(R, +, ·) soddisfano

Addizione

Addizione

Proprietà:

• Commutativa a + b = b + a ∀ a, b ∈ L
• Associativa (a + b) + c = a + (b + c)
• Elemento neutro a + 0 = 0 + a ∀ a ∈ A
• Inverso (opposto) a + (-a) = 0

Campo

Campo

insieme con due operazioni binario, che mettono in relazione due oggetti di questo insieme

(Q, +, ·) è un campo

Prodotto

Prodotto

• Commutativo   a·b=b·a   ∀ a,b ∈ ℝ
• Associativo   (a·b)·c = a·(b·c)   ∀ a,b,c ∈ ℝ
• El. neutro   a·1 = a   ∀ a ∈ ℝ
• Inverso   a·¹/_a = 1   ∀ a ≠ 0, a ∈ ℝ

+ distributiva rispetto al prodotto

a·(b+c) = a·b + a·c   ∀ a,b,c ∈ ℝ

(ℚ, +, ·, ≤)   ∀ a,b ∈ ℝ   a ≤ b   campo ordinato

(ℚ, +, ·, ≤)   campo ordinato

ℝ ha una proprietà in più, la completezza

oss: dose di sottoinsiemi di ℝ e potere della relazione d'ordine, intervalli

∀ a,b ∈ ℝ   a ≤ b

(a,b) = • x ∈ ℝ • a [0;1]

[a,b] = {x ∈ ℝ • a ≤ x ≤ b}   chiuso di estremi a e b

[a,b) = {x ∈ ℝ • a ≤ x

(a,b] = {x ∈ ℝ • a

(a,+∞) = {x ∈ ℝ • a

(-∞,b) = {x ∈ ℝ • x

Minoranti, maggioranti, estremo superiore e inferiore

Minoranti, maggioranti, estremo superiore e inferiore

A ⊂ R    A ≠ ∅

• S ∈ R maggiorante di A se a ≤ S ∀ a ∈ A
• S ∈ R minorante di A se a ≥ S ∀ a ∈ A

A = [1, 3] = {x ∈ R | 1 < x < 3}

A = [1, 4] = {x ∈ R | -1 < x < 4}

A = IN    ∀ S ∈ R ∃ m ∈ N t. c. S < m

• IN non è limitato superiormente, cioè non ammette maggioranti
• 0 minorante di IN limitato inferiormente
• Z non è limitato né superiormente né inferiormente
• Z ∩ N = {-1, -2, -3, -4} 0 maggiorante limitato superiormente
• {-∞,} limitato superiormente

Definizione di estremo superiore e inferiore

DEF. A ⊂ R    ≠ ∅

• S ∈ R si dice estremo superiore dell'insieme di A se S è il più piccolo dei maggioranti di A, cioè

S = sup A DEF ⟺

S ≥ a ∀ a ∈ A t. c. (S è un maggiorante)

∀ ε > 0, ∃ a ∈ A t. c. S - ε < a (S - ε non è un magg.)

2)

S ∈ &Ropf; si dice estremo inferiore dell'insieme t se S è il più grande dei minoranti, cioè

S = infA &Longleftrightarrow; {S ≤ a   ∀ a ∈ A   (S è un minorante)

∀ ε > 0, ∃ a ∈ A t.c. a ≤ S + ε   (S + ε non è un minorante)}

A = [0,1) = {x ∈ &Ropf; 0 ≤ x < 1}

ext. sup. A = 1

inf. A = 0

oss. 0 ∈ A

• 1 è maggiorante

∀ ε > 0, 1 ∉ [0,1) t.c. x ≤ 1 - ε

• 0 è minorante

∀ ε > 0, 0 + ε non è minorante

t = [0,1;2]

dep. A = 2 e 2 ∈ A

DEF. A ≠ ø

• Se S = supA ∈ A allora S si dice il massimo di t (S max A)
• Se S = infA ∈ A allora S si dice il minimo di t (S min A)

Teorema di completezza di ℚ

Teorema (Completezza di ℚ)

ℚ è completo, cioè ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore (o equivalentemente ogni insieme limitato inferiormente ammette estremo inferiore)

A = {x ∈ ℚ, x² < 2} = (-√2, √2)

sup A = √2

inf A = -√2

(√2 ∈ ℚ - ℚ) irrazionali

A = {x ∈ ℚ, x² < 2} = (-√2, √2) ∩ ℚ razionali

sup A: ? può essere un numero maggiore di √2 o minore √2 ∉ ℚ

non c'è un estremo superiore

Densità di ℚ in ℝ

Densità di ℚ in ℝ

∀ x ∈ ℝ, x < g ∃ q ∈ ℚ t.c. x < q < g

(ℚ,+,⋅,>)

(ℚ,+,⋅,<)

q < √2 ∈ A e q > s

q è maggiorante dell'insieme ma non è minore di s

s non è il più piccolo dei maggioranti

055

limite superiormente (S=sup A) esiste sempre (completa)

Se s ∈ A, allora s = sup A = max A

A = {1, 2} sup A = 2 2 ∈ A e quindi non esiste il max

If inf A, 1 ∈ A e quindi 1 = min A

055

Se A non è limitato superiormente, cioè non ammette maggioranti allora diciamo che supA = +∞

Se A non è limitato inferiormente, cioè non ammette minoranti, allora infA = -∞

sup &Nopf; = +∞

inf &Zopf; = -∞

sup &Zopf; = +∞

es

A = [-∞, 3) ∪ {6} ∪ [10, +∞)

inf A = -∞ = min A

sup A = +∞

A = &bigg\{ \frac{1}{m} : m ∈ &Nopf;\{0\} \bigg\} = &bigg\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \bigg\}  ( A = \bigg\{ \frac{1}{n} : n ∈ &Nopf; \bigg\} )

sup A = max A = 1

inf A = 0      0