Appunti di Analisi 1

Q R. nnNumeri reali

massimo MominoSie A IR punto per uMEAMseFoENindice Aun,minimoAEIR pruto A mEaFaEASie mEA uidice minice pereu ee,D (ollMaggionoute ncomiants Adeiputiminomente EIR dcomident 'intemnon .e , l,4)SupEstremo superioreJLEIR l limitotoSie LSa FoEAAEIR superiouentollona é fu Fo 0'iniere. , BA --EESTREMO twf AINFERIORE l limitatouJCEIR exoVOEA ollewoSie CA IR infeiementee e b'imieue,, AeA SSIOMA COMPLETEZZAdi tolecke a VatAcFGEBSion AeB ollovresottainiemi diRdue <bFcERR VeEAeVGEBascEGdellESISTENZA extreem SUPERIORESe olemeoolloweSufeniamente limitatoAEIRi eviste MAGGIORANTEinisieueen en,FLEIR FOEALsecioeDimortuozianebsa l deiVoEAZ eluitiSie B glitultimoggianouti Adi 000=EGERR- s, 'imicmedell B ?.sono A'inieme laICEGl ZCIEIR FeEAeGEBdi COMPLETEZzAper aniome- ,pouticolarein : Amoggianoutece- per4 lBiminoronte devi Ace B moggiaonti- dipereF wo 'imieme ,, )A EIRminorce lentrewsquindiciil super ioueASupMoggioontidei di =ARCHIMEDEPROPRIETÁ diL IN limitatononemotemeoli Sugenioreatedemmeri- 'iniemeVe ERRJ uEINuseDENSITá di Q IRin ReolTuo Rotionoledi evirtemericopfie in- me mozzoueoeVe FqEQaEqEGERR a G âe, éf,b

Induzione e successioni

INDUZIONEPRINCIPIO diPreoponiziziane nEINdipendente do indice nosie uo- ure fere con nenereo ,ollane FUEINauche inree pernerue wereo+IProcedimento loVenifico che MoEINquoquiete nie nero percheVenifico ollowo ouchené e- peru nereono unero per: +i?Se proquiete Fudno2Accerto puti loollorapuinii é. neno,ONLSUCCESSIles reoi fensione chesuccenioue dillno ad NATORALEoguiimuis aocie meroma) ,natmolediad deteminato Reoleogui Mo mreomoggiare mewun uro nwvew ,MEINI sQuEIR-sSUCCESSIONI DIVERGE REGOLARINTCONVERGENT eC IV E aOn reoleMno comvegenteindice ccintesuceevione nweore unJ liiltolCVusuE inuweo cowween , -ECQuLl+E,linite alIdello tendesuceuiou enoe connerge- Qulinu IFE FuEG FuSME-EcouGC+E3O,=lsllwo On dirgente tendein dice IDsucenione 0- re non a finitolimiteReGOLaRE infinitoaettellux dicemaniaue reina odell UNICITA delTEOREMA LIMITE'Helinite cciutedi Ou unicoéu, ,lassordoDimoutnoziove ) che il linitesuppongoSuppougo sll canche C On dider non sio micocon- 2ERR -sl2,il JucFE Fusuc C CCOu =3 2O. .-Ecau7 .+E.quindi Qn 20 EKnsme5 VEms ,C26) 2-EcauceE.F2 rweiMq0000 nawmseos !NNee Cli.-Econ ..2cou-e.cE+Ee."imoltue- eCCe21 ,-ecan-eecE.-ECQu-ELimite successionedi mo limitate l lzEIRllno eniutanodicein- sucaniane u ,YuENolistoliche EleOn Ne % - M---.-000 - - au leo.d2'0s.

Successioni limitate e operazioni sui limiti

LIMITATETUTTE LE CONVERGENT SONOSUCCESSI ONIDimontuozione leSe ),il l7 tole-230 che CouSCtOn commergente Mol me -E ,9Epediano cauidene zioein =L limitateéquiudi000000000 ëemusm che5 tole,-Se , -1couceti.f in i toSe gliOu quautitónam nam- con sawo mo j,, MIIcaI Futole 0000.quiudi cheenintemé MsanMu EM1 -McOuSMMC-QueusuisouSue -se +Zquiudi FM exiCs mine CliMLOuLM ee cauider f-.u e n E M I - 2=nox-Be-M. , }lzl Iouche [otengo , Cin bulinOperazioni sui limiti 0000 e=l, =C2s louIbul = ulou =lin line. lz .bu)=bilzOn irelutolin aml CfuENe 2FOs erf =EIkaul Gu( KtCzlimliu =K+-- =K.le )ulugooAlcure delle FORMEdomn INDETERMINATEzioniafewoto0.0 8,--0,SUCCESSIONE MONOTONA ousaute sOuOutle -MONOTONAllaw Úu IN£diceuncanian inT decurcte autkiOarerndiceTme ldecreentelemolgono ceesautestuuttauteDISUGUAGUANZE STREIE, )omette- SUCCESSIONE LIMITEMONOTONAOGNI limitatopacticoloremonotow limite eOfmi aetteuncuioue im- u, ,auche comergenteèi DECRESCENDLanlogoDimontnoziane le mnceniaux ) CJlCi tolicke EClimitate CiKSie cOn aunisoncresceute cive e- 2)EIR FuENC CieelSie haeau- sup= uiemeeninteDato E temine ldelloquolsioni 30, cideme diencuioue moggioneu eee wre -E,J che Ctole ?cioe Ougus --Elo FusuEAustoleche anseennolo HONOTONArncuiaue CRE -El OuseFE tole7 chequiudi SOuLetE cioe2O -E ,ux õSie tatoilhimitatoQu limiOue- re convergeexinterie Mmu Oum s McheFMEIR ToleMONOTONAtoenolo FuaurCRESauzaumsMGeemeceui cheFMEIR tole YuSumJuM cioeQuSMquiudi -Ou too, slc

Teorema della permanenza del segno

Teorema dello permanenza SEGNOdel anlogo con 0)Cin OuSe ollow tolecheevinte EIN FusuausoMo- .=C30,Dimoutwziae ltolecheDoto 7ollow FEsOOuche VusuE- -ECouCCtE,-sl, usE 20 ollow ckeSe coucete Fusuobltolepaniams =C-..- InoFusuoOu soquiudicorollarilinSe VuEINcQuzO ollowQu Cauce20- =eMDimartuozionefame terornoLe pantime cutoOuso QuLOe do Mo- femousopere reguo en.o l h weOusboFutCin bu IN- Se elinOu =b, =b2 ,Dimontuozione (lislelinOu =cheDoto VUEIN zou-Gu)s 0- --GusO sCi-C2OlTEOREMA FRONTOCON tolicheLionCu tre QuxCu EbubuQn sucamioui,IlinLe lin Calin bul ollew CuarcheQu. connerge e= =enDimantrosioneDoll didefinisione VE SCONVERgENzA 0:, meYuxHeJ CELQECtEtolecke Ns morPaundo {= ms, },-s- e YuItoleche eas meF .EEbuLl+E -eseuFUSNEollone bull+EbuCCtEldoto QuECuE EcOufCnEFnSNsGuche oftemgo- :he eELCusCtE CuVuzNEtole eFEsOquiudi INE -s,cioeIu Cawbgo divortuo ilmodo texreo =IDui fereollawbuVUEINSe OuIbu tooQu- e -sto -abuLe buOuE FuEIN ollew Qu- e -s-o -s-o.

Applicazioni del teorema del confronto

APPLICA del TEOREZIONI CONFRONTOMA delcocerge "0"solone IouconmergeOu a e" O''reeDimantuoziqne loulvicmowute- Ou -so-OSe taulconusloul toronouxIOu FuENla confuantocheSe deeferin1--O- -o, Ou-30 7linitateLe bu ollomeé QuQu sOuncemioneen e- .bu-sO,Dimontroziame Ci Toliche Gx- VuEINOu QCrFlimitatoquiudi AOu ,lzEIR Czbus FuEINCmoltiplicando bu bu cburon-pere .E .s --> o0 .Dato che bu confuoutoperil delteamo Ou- -so-so 1-limitateSe é buOu succemiane too- no - oletoolleve -an t0 -81buI anologoDimartuoziane bu-s-xo )ERRCi C EOu TolickeVUENNFlimitato, ,lzquiudi ,busomondo bur budtengo Outbu e2,buthbuth coutbu -7+2doto to quiudiche ouche- bor ,he -s,,Outbuouche -sto0

Limiti notevoli

LIMIT NOTE VOLISie & Sie EIRprefimoto s0un wewoanumero eanEIR =liume{ 17t a ax I M=1I re o SieeEIRliue prefinotoun numers*= Iteso se .1 liu L" ue =-acrinte unon [-L tzfSe an1- -:een40,Au aunau du- 30 e Casonalow 'd?linlI di NEPERO+hI:e . neno-SeeEIR FLeso e{ OcaCLoøe asl Qu-tooeaure e-stOenliu lQu ~o ua s Qu eLI -COou e -a Do Le 3 Outt s0Se i ouliefanitinitemininnamionue =botDnOu eno coua{ z Oa =u Ouea -resouliuoua = QuO exste o eaco-sO oustoo0 oQuQutore easo-stoexso -sobrutemiliSe Ou timié quoluierfaui uncemioreuncanione emo woaeileur e bu ezOusu -s,ausoebu 230,+DC-sb utoo e-392Co,-aouOu -s (e Cepil ebue o QuOu -s-D0bu-s -stoooce,CL), -se.- 30,+Qu D0e lu-stD sla LOebuQusO ,-0tore -sl2 (OusC QusC bulu tooo -s-s-D ,,llisile OCC.I),! terniniSie aulinporitiviOu D+=l2O,0ianioe- eno cona{ Ou tDtD -re scim lucelluon esoou= u -sQu O0 ->- u terniniSie aulin eesoeFLporiticiOu uncniore- =l20,0wo cana +0{ sI LtO ocaC OQus eQue ceu o+D -slin logale Qulogal Yxo -slXeQunoo uOLaCL eQustoodel

Criterio del rapporto

CRITERLO RAPPORTO loSio pouitimiterminiOu lcanione suceviouwo rea ,bu olhoneQuxs Cod au-s0courege wwroen: 41,ouZimonturozione brrhlbu obbatenza- groude -ufer- ssL41, 8 bucheE dato ipoten30,comider pereconverge-te C z - - --- -- -- - -- - -- - 20-24--che Vusuc LCtoleI Lbu-C Lus s5000]-.+E.EEbudoto but Coche decrescuteuSI AutisOn imuaniaue- perc-s.Ou obbactonso groudeemuVeinto che lin teminitemini canidenomeDdi qrinitOu Non ifawnevew- -s , !M-3tD0 cheOu DECRESCENTEsupporree monwwewcanoscoEsendo faitin decresautetemninini OLOCQtOn quimdi- a e overno ,limi tateOu é IlinOulimitateDoto Decuseuteche Ou é converge =l'20- ,foue allome onOutise- e l l-3 3,=Qus Gut'e quiedi'4o, LIMPOS IB e,lforsa buporipoteeiPar Ouquiudi quiedi -s0'=O- -seasGERARCHIE di INFINI SUCCESSIONlefelTO requentileilCon ropforto confuontoretenio del succeuianincri pawowo :lin ublutul !liueMliu liu m0=0 o=0 = =utM r Me M^ ml ^

Successioni estratte e Bolzano Weierstrass

SUCCE SSION ESTRATTE SOITO SOCCESSIONIOSie On reolidi Homenteitreerie uuccniaemriruccuriamn wouK- w ,wtuolicrescente di meeK sOukLo extrotte indiciOudidadice secceriouein MKsuceuioneOuerroziani ousautePere notewleituettamuteh edi FKEINoguni mewimanioue- ukIKloSe eextmotteOu llono10 ogui xowerewseverso cougeconverge. udtomcaniai2 OuSe ceeninttow di ruccuuioue comurganowew- liuiteollamet halimiti Ou nena -Teorema Bolzano WeierstrassdiSe alwewexinteQu allomo .é TLimitaTauncauiaee mo,cottomcaniane che CONVERGEDimoetuozione 7 AQuEBBEIRIIéOu quiudi toliche FuEINlimitota,- A,ricorola ABTl ha Curnglezza B ilquindi- seeo'intemollo -A,2 puto diputo Bil AM Ademedio At roneneve rudioM BA +BATABJ ho luglezzaIu dintenollogunole00000) ure , .puuto Ail touedio esuwo IJcomiden meteABdividendoEB FUEM TerwiniAQu ci D- Se e norouw, BJA TAmetédelle 2in Iuna Inuwoo }TA acee,+BA,+B-AJoinewo Do 33 AA AtBIA lughezze BSuffoniano drimidendodiinride- ancome, ,.AJ TA AtJetmete delle metetemini almo 2inDci [,wnonnewe , ...EAitenando qeeto +B-A,BJcatruirefromianoprocemo we- LABTmottomcaniane BOuk Ak AKESAr edéSOur domecon -u,l prudioninferioneextremo dell danintemollo' Ouk' ? ""Az tBtBA A .A"-î+B- sQn- 0TÖ-- "0000) L Q aQnm B1T 4ts @"" o o- u- Ma 3 Muztooortoodp M. ß AAtB-- .M2M3AtB AA " +B-A-A-A Euzz WAzdefinisce- Akèperchequiudi detocrescute dollnncuiauexAk 'dellpurto uedio intemoll precedentedol 'o . CinitatoLo quindicamergenteAk crsceuteK quiudi é MONotoNAmanioue- -s achetoleFCEIR Ax B il del=3 cunolo TEOREMA CONTROnTofere-sC, -AK-30, 8 +B-EAkCOuKGAKlouche Our -2 L- - ->se seLE CAUCHYSUCCESSIONI OL toleche FuMno VECanchy ollowdi Fusi 3Osuconiane re ,msusEQu <-Qu

Criterio di Cauchy

Convergenza criterio Cauchyditllue solo couchydicomugentei esuccnioue ue uVoui DIMOSTRARLOpamoggi ferI cauchydiéOgui convergentesuccuione) arbitrariomunerostewDimo ziqne pDoto louFug toleELO cheEINcourgente ollomeOn é uusmEne. , , -elEElan"Se 31mm- IQ-Om tuiangole re, E Disuguoglianto-CItlan-CM....Ę Lsqueiudi -anllallo soltroggo doagginngsQu-Oul<E e+Ę=Ecouchydiisucceeione2) couchyleno linitatedi ésucceuioueDimontroziane - lonSie I toleE chedoto che dicauchy msuEQu Vué. us -anky=f, ,lan CIFiniano TuENNEIN 3