Appunti dettagliati della prima parte di programma di Analisi 1

Logica verso

Ha falsd che definize sense-proposizione: assets proposizioni [p, commettivongunziee 9:- 7, negazione N:/ Pere TPPVFVFFVFU implicazione: e condizione necessaria suf iciente non ma.

Osservazione: p9p happle9 Pat stesso = VV VFUF il FV VFF saranno (p q)n(q p) > px q == = =.

Osservazione: 7p7q bewqp guido, sees. = = non = benguido se non p9p 97p7979 =)7P = F VUV FV FFUF VFVFV V VF Vv vFF v 1r.

Ragionamento per assurdo

Ragionamento per assurdo. Tesi zv(p1nq)7pVqcp qc -== = See F, vera p=) 9 è.

Leggio de Margan: ·(p1q) x x rpVnq = v(p1q) = vqVvp ·.

Tautologie p1q2 3q1p = S recal p1q semple P = vera l(sempre pVqp => pV vTP sempre è p1Tp sempre F è p1p1 > P =.

Quantificatori

Quantificatori - Universale o*x, lap(x) soddisfare zo elemento proposizione data se ogni xéXX, p()é V p(x1)/p(xz)... e =.

Esistenziale I- 7x, p(x) reca la si verifica almeno proposizione se per è x una 5x, p(x) p(X)Vp(X2)... V Vc>e = I? Uno solo uno e -.

Negazione dei quantificatori 2(Xx,p(x)) 25x,7p(x) = = 7(7x,p(x)) e fx,7p(x) =.

Principio di induzione

Principio di induzione P(m) Sia pudicate un telo definite intero sia in = mo une mo. per mo ogni Supponiamo le due condizioni, siano recificate sequenti che 1) P(no) vero è (II) P(n+1) 2) P(n) é veio allo zar vezo se ogni = Riz no, n è P(n) Alloza veco ogni per n = é no/IR.

Campo ordinato e tricotomia

Campo ordinato xy x tricotomia zxy z = ++ se xy < y. Zzie X. E =.

Insiemi e numeri

Insiemi AQN.B. P, a interi = · 9F0 · IN: naturali complimeat p, senoa · 10 e 1E: MCD P,9 interi = 30,2 ④: razionali Fa 52 - R: zeali I razionali irrazionali.

Numeri irrazionali QRE Dimostrazione -> assurdo: per 2 Q r.qV2 1 p = = 29 292p = - L pazi pazi pazi N.B. Se pe pq = = 2924k2k -> p entrambi Smo = - non pari, essi essere possono pazi COMPRIMI q = S C.V.d.

Teoria degli insiemi

Teoria degli insimi C)(A, B, Insieme: collezione di elementi AX (x/p(x)) ↓ x A all'insieme A appartiene = ACB1BCABxAA AB elemento ogni e di viceversa appartiene == = a = = contenuto = (x Sottoinsieme: B)AA x = -= V stesso: di es setts insieme insieme x-AxeAACA ogni è === · = l'unico insieme l'insieme che è vuoto: elementi possiede non. ↓ OCA tutti gli sottoinsieme insiemi di è.

Operazioni con gli insiemi = (X/XeAUxBY Unione: AUBA XtAVXEBAUBl => X t (X/x-Anx BY Intersezione: AnBB = > XtA1XtBABX = - (x/xxA)A = Complementare: (X/xt B) Diff. AB 1 Insiemistica: A x = P.

Proprietà insiemistiche

Proprietà AUA A ArAACB AnB A = Se > == = = ANA AAUB BACB > === AAUDACAUBeBCAUB = 0A1D = associativa distributiva commutativa -- - ↓ ↓ ↓ (AnB)ncAn(Bnc)An(BUC) (AB)UCAUB BUA == = AU(BUC) (AUB)UCAu(B1C) (A UB)AMB B1A nC == = legge di de Morgani = (AUB) B'A'lAUB"CA1B" =.

Insieme delle parti (1,2,3)(x/xcA)P(A) A = = S (A;;1;2;3;1 1)P(A) insieme 2;2 3;3 delle - -= - di A parti = 2" elementi P(A) Se A N.B. elementi han.

Numeri combinatori

Numeri combinatori (B) s M01 = ERVIVAENTI m(n 2)-) (m Osservazione: (Y) (m k+)(k)! - - - ... = k!(x)! N.B. 0! 1 = m! (Combinazione) gruppi oggetti di che n posso = creare ↑) (Permutazione) quauti di nell'insieme K elementi posso gruppi mare m =.

Osservazione: mixxs := (x)(P) === (n)(4) Newton Teorema: binomio1 di == (r)b)* br(a(4) n(n) a+ == 7(*(ri)(3) = +.

Definizioni

Definizioni IR XX limitate dia superiormente c si solo se see7kt1R/x kxEX cIR XX limitate inferiormente dia si se solo se ekt1R/x kxEX7 > c IR XX limitato dia limitate contemporaneamente si solo se e X se è inferiormente superisemente ed XcIR, IR k - X Xk é tx sex-maggiozante un di · - XxeXXc k é di X2k minorante un · X Xx-Xk se k.

MAX di il maggiolaute ed un · è é X appartiene insttie ad Fx-XX se k é K MIN un il di ed minorante · è keX insttze X (K = l'estremo supX) dell'insieme che K si dice il superiore se - è é X) k = min(y EIR/yX, di é umaggicauti ossia di mag. minore dei S supX). Ex/x* mx/xk+ = k = n - 3.

InfX) l'estremo X (= dice è che dell'insieme Si inferisce il - se é XI k=max(y R/yX, un dei minorauti di di massimo ossia min. é.

Assisma di completezza XcR, / X limitato X l'estremo F superiormente -> amutto sup.X é Se.

Osservazione: illimitato superiormente esiste allora il non XiSupX = estremo aualogamente superine, suo se +cs, infX = - illimitato inferiormente, co.

Intervalli e retta reale

Definizione IRIc e intervallo tema dice numeri x, si di Xs x,x, x2 se con per XtIXX zisulte de x2 < (x/azx b) Taib] chiuso 2x = = xx x x 2 (X/acxb)X2XX (a;b) aperto =.

Insieme R un campo é R ordinato è R numeri)(copre la retta completo tutta dei è I intervallo esiste non ④ IR: 7rE/ irrazionale di solidauso mumuli Xrexesepundo reali é Xxz2 numeri in.

Principio di Archimede. di più arco Per qualsiasi un numero alto numero mar.

Prodotto cartesiano e relazioni

Prodotto cartesiano Y)X, Y vidimate ((x,y)(x&preudo insiemi 2- X,yXxX, l'insieme tutte Si le di definisce coppie - RcXXY R é Se YX che dice Si relazione di in una.

Funzioni

Funzione X XY Y/Si X dice che f in una di una relazione in di funzione x in se é per ogni é in Y/(X,y) esiste tf solo no e un y.

Notazione XX X-f(x) fix dom(f) immagine mediante f, di - = = I (f) f(x) evatorx = y = == X,7!ykx y/f(x) y = - - A y I elemento ciascun del = dominio associato Deve essete uno ed ↳ elementd un sol codominio del -.

AcX · (y y)y/5x(f(x)/X A)cy l'immagine 21: f(x)Af(t) definisce Si di = - = -= I[ Y gli elementi tutti sondo immagine di A elementi degli BCY · y)(x X/7y(x B) B: f(x)Bf(B) - A/f(x) definisce Si la di immagine contro = + - -= = I I gli elementi tutti del dominio la cui immagine appartiene AB.

Funzione Funzione Parte intera segue Interd + grande che anali supera xnon F.⑧ Funzione mantissa EF(x)M(x) x = - *fix Y. - la I iniettiva, definisce si f funzione.. . la f(x) inversa di f, di dominio funzione codom. e che X e f(x) he quell' valore unico per per y x f(x), f(y) elemento xyx = pic an EF ==.

• 1) Funzione fly)f(x) iniettiva XFyse +> = Y/.
• 2) X f(x) funzione suriettiva f: se - y =.
• 3) Funzione iniettiva suziettiva biettiva => f(x) è è.

Campolizione di fautimi Yfix = g(f(x))(gef)(x) f(x)cE = z W-g: golfoh) (gofloh = generale)(infog gof#EF. AcX fixeY codominio Y Ha la A,ci.