Appunti dettagliati sulla seconda parte di programma di Analisi 1

Derivazione, retta tangente e teoremi del calcolo differenziale

Decivazione*amo tantmette X xO-/ se)Icxo),p(x0;f()) finitoXOtR, ed ildefinitaf èinf(x)-f(x)him dezivabilela éf(X) to, equivalentemente sefunzione in=XOXOx X 2↓m- tangente- della h 10+hxx x0 --= =Tuttavia if(xf(x h)linla terminidef.scrivere -possiamo +in hdegli O-piccoli: seme xr)0(xm(x x0)+tofédezivabile pie xoxin -+ --

Retta tangente e notazione

Retta tangente1[f(x)]Notazione: f(x) = >m ==x2: tIRdezivabile tof(x) comesfé in= th'tohf(x0+h) (os=f(0) (xothhim to=him h12th)m i- 2xe- ==h h 0[x0+ 2x=(xm-2h+...h-en-limh(mxm-t...thm-1)(xth)"-<= mx-M+nhen-Più limgeneralein =h h *h0 so0- -f(x)f(x) 7x= =Rf(x) f(x)c- 00= =f(x) f(x)Sen cost== costsenh=fixeth-fixe)lim sen(th-sent-limhim imh.sentsenxcosh sencosx-senx=+= 13h 00+ =O-him-hsenI+costsemh=costIX)

Osservazione su funzione inderivabile

Osservazione:f(x)= inderivabilequesta tofunzione 0non è = {lim amthlothlo- h(0 +) e= + 0[k1h-8t ,h2-alot se x =+hhimtime- Oth -0= =-her h-etf(x)+f(x) e == etetth-ex= en-et_dinlim exslim eh 0-f(x) logx f(x) x= = Min*** log(*)log(x) loglinlog(Xth) tim =air -== neo nxYogaefx)logatf(x) == ))-limelogalth-logat-Mim loga? loga?lim I-I- rogen=h 0- f(x) logaf(x) atat == )altens-at= at atloghim, tim a=Teozema to,allora generaledezirabile vero.to centinuafé reciprocoilfé inin non éinx)f(x)

Controesempio e continuità

Controesempio in to 0= = (to)Supp.dimostrazione: 170com+eIcxos10)exo CONTINUAXf(x0).(xf(x)f(x) x0)f(x0) - -- = x0)(x 2.-1. fde if() f(x)f(x)1.tosex == =2. -

Regole di derivazione

Regole diderivazioneSupp. dezivabiliin tofegg)(xo)1.(f f(x) g(x0)+ +=2.f(xx0) f(x0)=(f.g)'(x) LEIBNIZf'xo)g(40) g'xesf(xe)3. +=(x) f'(0)g(x0) -g'(0)f(x)(5) Seg(xe)i =O= [g(x0)]dimostrazione 1. g(xoth-g(x)-f(x)(f g)(x) f(x0th)9)(xoth)(+ -g(x)g(xoth)f(xoth)-f(x)bylimlim + +- - =+=h nh 00= +fleth-f(0) 9(x0th) -g(x)im-him f(x) g'S++ =he 0dimostrazione 3. f(xeth)g(x0)f(xeth(g(x)f(thig(Noth) f(x)g(x)f(xoth)g(x0th)in f(x)g(x) + --- ==htoth)the f(xo))in g(x0)f'(Xe)1(x0)f(x- = +-g'D[gkos] eg(xelfeconsiderando dezivabile= tog inthlg(x0th)

Permanenza piccoloabbastanzadel pec=0segno: ----gath) h) e9Y) g(x0) g(x) quandoenth) N.B. to+- hm esehim him ecosquoths= =heoh 0 h- marn 0+Cocellario D(h(xrs)(5 Is0 hascom= =f(x) tanxf(x) cosS= tant= -= +=

Osservazione: IR2, BE (0)Bg) 2f'(x0)e(af+ Bg'(xo)todezivabilifeg idezivabileto of +pg inin +=

Teorema della catena e inverse

Teorema della catena f(xo)é dezivabiledezirabile dezivabile to-) éin to eg => gofin é in e(gef)'(x0) g'(f(x0)). f(xOS=

Teorema derivate delle inversefunzioniSiaf I2x0). Sia f'(oinvertibile todezivabile allevaed fcontinua o,in in1f-'syos fistos f'IFigos= = f(x0) (y0)f-y0 >= t0= =IS:f(x) taux y= = (tanty)ficy) aectany=(f-(y) 7Ittaut=1Tyz=

Proposizione su funzioni pari e dispari

ProposizioneSiaf dispari)(o dorf. fix)Allenedezivabile unafunzioneuna funzionepari safe in épazil(odispari f(x)Siafpari, f( x)dimostrazione: x demfallow ->-=(fegr(x)f(x) = 3[/feg)(x)) 1)-[f(x)] f(g).g fi) x).) f x) &SPARi-- - -= ===F. Itxosf I limitedefinita delivabile to finitedestradadicesi il- se destroinin# Analogamente laincrementale. toderivatadel definisceZopporto sinistrasi inff diE f!(0)f(x)= =Tema Isto),Sia dezivabile da destraé dezivabileféf dezirabile to solo sefse eein in ff(xd)f((x0)leda sinistra to derivate coincidono ossiain e =

Punti di non derivabilità

Punti dezivabilitadinon finiteangelosi le destradezirate to,esisteno due sinistra coincidono,· e in nonma oppure· f1(x0)][f!(0)Paltzafinita infinitaesisteuna e letangente·punto destrainfinite dezirateverticale: dueesisteno sinistra concordia e e sono[f(x0) c]fi(x)) === infiniteexisteno le destracuspide: discordisinistra,derivatedue seno· mae[f!(x0) c]ff(x) evaversac,+ = -=

Teorema tappabuchi

Teotema tappabuchidel I(to),[kos f(x)Siaf finito,alloneundezivabileincontinua seto e indecivabile toèoallow inoltrein ef(x)Mif(x) =

Punti estremi di una funzione

Punti estremidiuna funzionepunto dimassimepunto diminimodipunti dezivabilitanon (numerireali)dominiodelestremiF. domfto -# totr)Si Ircxos/Ir (xo-r; IrcosnFxe7 =f(x0)f(xdice donf,relativomassimo perf se =Si f(x0)f(x)Fxdice assolute ->damfmassimo perf se =I (epp.critico)treSi dicastazionario fistedenirabiledifsef é to ein eIxosSiaf (xe)definita Sedesirabile allowdiestremeto. puntopezò un pest,in toe in écritical(cisef'(0) to punto0 == IrixesI(0) Fx->f(x)=f(x0)

Spp. relativodimostrazione: sia cuito massimo fepersia perf(x) f(x)+-* 30xx Sexsto xox- O>=>- = f+f(xf(0)Allena la del =10 permanenza segmeperx xo- se 1020keto 1-> => - fle)ioAlloza f(x0)f(x) la del0 =pez permanenza segne- =0X - -fle),fff(x) M+Ma ipotesi fédezivabile aveallocainsiccome toper = -f(x0) 0=

Osservazione:il terzemaaciproco del falsoin generale èIM f(x)3 0x3 unnéfunzione continua to-x puntomen é== 3x2f(x) nediCONTINUA E min, dimax=f'(0)OINDERIVABILE 0=Dunque he f(xo) siadette dellaestremepunteche funzionee,se untuman è=

Teorema di Rolle

Teorema Rolledi [aib][aib], (a;b).limitatofé chiusedefinita devirabilein intervallo centinua in e ineunun [aib] /So f(x0)f(a)=f(b), allora punto 0->to = N MWaierstrass:dimostrazione pic f(a) f(b)= - - - --a[a;b)M3)[m;f([a;b]; M maxf(x) xe 7= bTOa[a;b)minf(x) x=m = Xxe(a;b) f(b)ef(x)·Se M, costantefunzione 0m = f(a) e= =disuguaglianze -Saza'mef(a) M,f(b) strettame, diquestealmenopoiche'se = una· f(a) f(b)= m= 2.Xme(a;b)Supp. dezivabileAr ipotesi, fme'cenb,il puòcoinciderepunte ne' ossia per1. éeconnon a terzemanell'aperto Fezmat xn)(x0f(xm)il didunque diestremoAn é 0punto pere un ==

Teorema di Lagrange

Teorema Lagrangedi [a;b], [aib]Siaf limitateundefinita intervallo f centinuafunzione chiuseuna suin ee(a;b).dezirabile su iI f(b-t(a)(aib)Alloza f(xto oin =dimostrazione: bk= [aib]f(a).(xf(b)Sia (aib)g(x) f(x) a), g(x) inincontinua edezirabile- e= -- b -a fiblfaFacciame g'(x) f(x)= - If(a).(a a)Inoltre f(bf(a)g(a) f(a)-= - =- g(b)g(a) texzemailusiamo-= diRolleInoltre a)f(b4(a).(b f(a)f(b)g(b) -= =[aib]5x0 flbtale f'Ge)g'Cxo)che- dunque0 ==

Teorema di Cauchy e formula dell'incremento finito

Teorema Cauchydi [aib]Siano [aib],intervallodefinite desirabilife due funzioni in continueung in e(a;b). ->(a;b)(a;b).Se Xx- esisteAllenag(x) toFOinf(x0) f(a)f(b) -= g(a)g(b)g((xo) -

Osservazione:T diintervallociascun (eSiafcontinua Fissati indezirabile elementiin punto di in. 2[k; x2) (x;x2), Lagraugedezivabileallowaféx*, x continuax e perx in in2,(x,xz)7 f(x) (x),f(x) ossiax - =[f(xz) x))f(x)(xzf(x) dell'incremente finitoformulae-=-[f(x) x0))0(xf(x0) x0)f(x)(x dell'incrementefozmula finito1-+-- =

Teorema finale

TeoremaI intervallo, decivabilef suè IFx->If(